| Autor |
Beitrag |
    
Jezz (Jezz)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: Jezz
Nummer des Beitrags: 100
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 14:07: | 
|
Kann mir jemand erklären, wie ich die Abhängigkeit von 4 Vektoren in R³ zeige?
Zeige ich dann, dass 3 Vektoren einen vierten ergeben oder dass alle 4 Vektoren mit nem Vorfaktor 0 ergeben?
Danke! |
Spezi (Spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Spezi
Nummer des Beitrags: 231
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 14:23: |
|
Hallo Jezz,
nimm deine erste Idee,
man kann jeden Vektor als Linearkombination von drei gegebenen linear unabhängigen Vektoren definierten, und somit sind vier Vektoren im Raum grundsätzlich linear abhängig.
Tamara
|
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 682
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 01:45: |
|
Hi!
Allgemein gilt:
n+1 n-dimensionale Vektoren in Rn sind linear abhängig; in Konsequenz darauf sind 4 dreidimensionale Vektoren in R3 sind linear abhängig.
Der erste Weg wäre aber noch zu beweisen!
Bei der zweiten Idee dürfen gerade NICHT alle Vorfaktoren Null sein, sonst wären die vier Vektoren ja wieder linear unabhängig! Mindestens einer dieser Faktoren muss daher ungleich Null sein.
Von der zweiten Definition ausgehend, zeigen wir, das wir gleichermaßen daraus auch die erste erhalten.
Da die drei Vektoren a = (xa; ya; za), b = (xb; yb; zb), c = (xc; yc; zc) lt. Vorauss. l. u. sind, gilt zwischen ihnen NUR die trivilae Relation:
r*a + s*b + t*c = 0, mit (r,s,t) = (0,0,0)
r*xa + s*xb + t*xc = 0
r*ya + s*yb + t*yc = 0
r*za + s*zb + t*zc = 0
-----------------------
Wegen der l. U. von a,b,c ist der Wert der 3 x 3 - Determinante D von Null verschieden.
|xa xb xc|
|ya yb yc| = D < > 0
|za zb zc|
Das Hinzutreten eines vierten Vektors d bewirkt folgendes System:
r*xa + s*xb + t*xc + u*xd = 0
r*ya + s*yb + t*yc + u*yd = 0
r*za + s*zb + t*zc + u*zd = 0
------------------------------
In diesem System gibt es ausser der trivialen Relation noch weitere unendlich viele Lösungen für (r,s,t,u), weil es nach wie vor nur 3 Gleichungen, aber nunmehr mit 4 Variablen gibt (wovon man infolgedessen eine beliebig wählen kann).
Der Rang der 4-spaltigen Matrix M
(xa xb xc xd)
(ya yb yc yd) = M
(za zb zc zd)
der Koeffizienten des Gleichungssystemes ist r(M) = 3 (eine Unterdeterminante ungleich 0 ist die o.a. 3 x 3 - Determinante D).
Man kann demnach u <> 0 vorausssetzen und erhalten:
r*xa + s*xb + t*xc = - u*xd
r*ya + s*yb + t*yc = - u*yd
r*za + s*zb + t*zc = - u*zd
------------------------------
Division durch -u, -r/u = r', -s/u = s', -t/u = t' ->
r'*xa + s'*xb + t'*xc = xd
r'*ya + s'*yb + t'*yc = yd
r'*za + s'*zb + t'*zc = zd
----------------------------
Dieses System ist (wegen D <> 0) eindeutig nach (r',s',t') lösbar, somit ist
d = r'*a + s'*b + t'*c
d ist eine Linearkombination von a,b,c und sohin alle vier Vektoren linear abhängig.
Gr
mYthos |
Katrin000 (Katrin000)
Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. September, 2003 - 11:43: |
|
Danke! |
|
