    
Emperor2002 (Emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Emperor2002
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. September, 2003 - 08:19: | 
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Hallo zusammen,
ausgehend von einem belibigen Doppelintegral
ò ò f(x,y) dydx
führt man nun Polarkoordinaten ein. Es folgt für die Veränderlichen:
x = r * cos(f) und y = r * sin(f).
Mir ist durchaus bewusst, dass ich dxdy = D * dr*df, mit D ist Funktionaldeterminante der partiellen Ableitungen von x und y.
Da ich den Beweis dieser Transformationsformel leidernoch nicht verstehe, habe ich nun versucht für den speziellen Fall des Doppelintegrals diese Beziehung herzuleiten.
Dazu wird die Grundfläche als Kreis mit Raduis r betrachtet, wobei der Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt. Man unterteilt den Kreis nun in Kreisektoren, charakterisiert durch den Winkel Df. Die Kreisektoren unterteilt man nun in Kreisringsektoren die durch Dr (Dicke des Kreisringsektors) bestimmt werden. Für die FLächenstücke ergibt sich damit
A(i,j) = ri * Dfj * Dri - 1/2 * Dfj * D2ri
Multipliziert man diese Fläche mit dem Funktionswert eines Eckpunktes des Kreisringsektors, bspw. f(ri,fj) so erhält man das Teilvolumen
V(i,j) = [ri * Dfj * Dri - 1/2 * Dfj * D2ri] * f(ri,fj)
V(i,j) = ri * Dfj * Dri * f(ri,fj) - 1/2 * Dfj * D2ri * f(ri,fj)
Um nun das Volumen der Funktion f berechnen, so werden die Teilvolumina aufaddiert und eine Grenzwertbetrachtung für Dri und Dfj durchgeführt.
Bezeichne
S1 = ri * Dfj * Dri * f(ri,fj)
S2 = 1/2 * Dfj * D2ri * f(ri,fj)
limm,n->ooSm j=1Sn i=1S1 - S2 = ò ò f(r,f) r*dr*df
Das bedeutet also, dass der Summand S2 komplett herausfällt. Es scheint logisch oder annehmbar, da dort das Differential Dr quadratisch vorkommt und alle Größen gegen 0 streben, was bei S1 nicht der Fall ist.
Wie begründet man es aber richtig, wenn es überhaupt so geht? |
