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Beitrag |
    
Katrin000 (Katrin000)
Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 27
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 15:17: | 
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1) v, w, z seien unabhängige Vektoren des Vektorraumes R³. Prüfen Sie, ob folgende Vektoren linear unabhängig sind.
a) Vektor a = 2v + 3w + z
Vektor b = 2v - w + 2z
Vektor c = v + 2w + 3z
Wie mache ich das?
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 661
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 17:21: |
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Hi!
Bei linearer Unabhängigkeit muss die Determinante D =
|2 3 1 |
|2 -1 2| = 0
|1 2 3 |
sein. Das ist hier der Fall (D = -21), somit sind die Vektoren a, b, c lin. unabhängig.
Gr
mYthos
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Jule_h (Jule_h)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Jule_h
Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 17:27: |
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hallo Katrin,
wenn du prüfen willst ob a,b und c linear unabhängig sind musst du ansetzen ra+sb+tc =0 und prüfen, ob das nur erfüllbar ist, wenn r,s und t Null sind.
Also: ra + sb + tc = 0 liefert dann eingesetzt
r(2v+3w+z)+s(2v-w+2z)+t(v+2w+3z)=0. Du multiplizierst die Klammern aus und klammerst jeweils v, w und z aus. Dann sieht deine Gleichung so aus:
v(2r+2s+t)+w(3r-s+2t)+z(r+2s+3t)=0.
Da du ja weißt, dass v, w und z lin. unabh. sind müssen die Klammern jeweils Null sein. Damit erhältst du ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den Variablen r, s und t. Wenn die alle Null sind, sind a, b und c unabhängig. |
Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 662
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 17:41: |
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Die Frage, die noch im Raum steht, ist, warum das so sein muss.
Dazu folgt noch eine nähere Erklärung bzw. der Beweis:
Wenn Vektoren a, b, c linear unabhängig (l.u.) sind, besteht gemäß der Definition für die lineare Unabhängikeit zwischen ihnen nur die triviale Relation, d.h. in der Beziehung
r*a + s*b + t*c = 0
[Parameter r, s, t reell, 0 = Nullvektor]
müssen alle Parameter 0 sein, die obige Vektorgleichung somit nur für das Tripel
(r, s, t) = (0, 0, 0)
erfüllt sein.
Das zeigen wir jetzt, indem wir für die Vektoren a, b, c die Werte der Angabe einsetzen:
r*(2v + 3w + z) + s*(2v - w +2z) + t*(v + 2w + 3z) = 0
2rv + 3rw + zr + 2vs - ws + 2zs + tv + 2tw + 3tz = 0
[jeweils v, w, z ausklammern] - >
v*(2r + 2s + t) + w*(3r - s + 2t) + z*(r + 2s + 3t) = 0
Gemäß der gegebenen lin. Unabh. von v, w, z müssen die Klammerausdrücke jeweils Null sein:
2r + 2s + t = 0
3r - s + 2t = 0
r + 2s + 3t = 0
------------------
Dieses LGS (lin. Gl. Syst.) lösen wir nun nach r, s, t auf. Für eine eindeutige Lösung muss die Koeffizienten-Determinante ungleich Null sein:
|2 2 1 |
|3 -1 2| = -21
|1 2 3 |
Die ist die gleiche Determinante wie in meiner ersten Antwort, weil nur die Zeilen mit den Spalten vertauscht sind, und dabei sich der Wert der Determinate bekanntlich nicht ändert.
Die einzige Lösung des LGS lautet somit
r = 0, s = 0, t = 0
und die Vektoren a, b, c sind deswegen l.u.
Somit ist auch die erste Aussage bewiesen.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 663
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 22:21: |
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Sorry, bitte entschuldigt den Schreibfehler in der 1. Anwort, es muss natürlich heissen:
....
Bei linearer Unabhängigkeit muss die Determinante D =
|2 3 1|
|2-1 2| < > 0 (ungleich Null!)
|1 2 3|
sein.
.... |
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