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Katrin000 (Katrin000)
Mitglied
Benutzername: Katrin000
Nummer des Beitrags: 26
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 15:16: | 
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1) Zugrundegelegt sei der Körper R. Die fehlenden Stellen sind so zu ergänzen, dass die Determinanten den Wert 0 annehmen.
a)
| 2 . 1|
|3 . 2|
|4 . 3|
Soll man für den Punkt immer diegleiche Zahl einsetzen oder unterschiedliche Zahlen?
Wenn es immer die gleiche Zahl sein soll, kann ich die Zahl frei wählen.
Wenn ich x, y und z einsetze, bekomme ich
2y + 7z - x = 0
Was soll man machen?
2) Gegeben ist das Gleichungssystem
|2-t 3 6|
3 2-t -6| Vektor x = Vektor b
|-6 -6 11-t|
Für welche t Element R ist das System mit b = Nullvektor nichttrivial lösbar? Wie lauten die Lösungen?
Heißt das, ich soll nach einem t suchen, so dass die 3 Vektoren unabhängig sind? Sprich: Die Determinante ist ungleich 0?
Für t = - 1 und t = 5 ist sie 0.
b) Für welche t Element R ist das System lösbar, wenn b = ( 1 über 1 über -2) ist? Welche Lösungen ergeben sich in diesem Fall für t = -1?
Sieht die Determinante so aus?
|2-t 1 6|
|3 1 -6| Vektor x = Vektor b
|-6 -2 11-t|
Heißt lösbar, ich soll nach unendlich vielen Lösungen suchen? Sprich: Die Vektoren sind abhängig?
Wenn ich die oben abgebildete Determinante auflöse, bekomme ich
t² - 4t + 139
Glaube kaum, dass das richtig ist..
Vielen Dank im voraus.
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 664
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 22:59: |
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Hi,
zu 1.
dabei dürfte dir ein Fehler passiert sein, denn es kommt
-x + 2y - z = 0, wenn die drei Zahlen verschieden sein sollen.
Interpretation: Wenn der Punkt (x|y|z) gemeinsam mit den zwei anderen Punkten (2|3|4) und (1|2|3) in der durch den Nullpunkt gehenden Ebene x - 2y + z = 0 liegt, sind die drei Vektoren (2;3;4), (1;2;3) und (x;y;z) linear abhängig.
Interessant wird's, wenn immer die gleiche Zahl (s) einzusetzen wäre:
-s + 2s -s = 0 ->
0*s = 0 !
Dies gilt für ALLE s € R, also liefern beliebige drei gleiche reelle Zahlen eingesetzt immer 0 als Wert der Determinante.
Interpretation: Alle Punkte mit drei gleichen Koordinaten liegen in der besagten Ebene! Das kannst du leicht mit beliebigen Werten nachprüfen.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 665
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 00:20: |
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2a.
Nicht trivial lösbar heißt, dass die Lösung des Systems nicht das Tripel (0;0;0) ergeben soll, dass also x, y und z nicht alle gleich Null sind.
Mit dem Wert der Determinante ist's genau umgekehrt, als du vermutet hast: Wenn ausser der trivialen auch noch nichttriviale Lösungen existieren sollen, muss der Wert der Determinate Null ergeben, denn andernfalls existiert ja nur das Tripel (0;0;0) als Lösung.
Das heißt, du sollst nach einem t suchen, so dass die 3 Vektoren lin. abhängig sind. Sprich: Die Determinante ist gleich 0. Dabei ist durchaus zu erwarten, dass es keine eindeutige Lösung gibt (diese wäre die triviale), es können sich wegen der linearen Abhängigkeit unendlich viele - aber eben nichttriviale - Lösungen ergeben.
Wir suchen demnach jene t, für die die Determinante
| 2-t 3 6 |
| 3 2-t -6 | = D
|-6 -6 11-t|
zu Null wird. Dazu wird sie nach den entsprechenden Sätzen zwei mal umgeformt:
| 5-t 5-t 0|
| 3 2-t -6 | = D
|-6 -6 11-t|
| 5-t 0 0 |
|3 -1-t -6| = D = 0
|-6 0 11-t|
(5-t)*[(-1-t)*(11-t) - 0] = 0
(5-t)*(-1-t)*(11-t) = 0
Das Produkt ist dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist:
t1 = 5; t2 = -1; t3 = 11
Das sind also die drei Werte für t, bei denen das Gleichungssystem nichttrivial lösbar ist (davon hattest du zwei richtig erkannt, dir fehlte noch der dritte Wert t3 = 11).
Die Lösungen werden ermittelt, indem die Werte für t nacheinander in das System eingesetzt werden:
Wir rechnen mal für t = 5:
-3x + 3y + 6z = 0
3x - 3y - 6z = 0
-6x - 6y + 5z = 0
-------------------
[die erste und die zweite Zeile sind voneinander abhängig]
x - y - 2z = 0 |*6
-6x - 6y + 5z = 0 |+
--------------------
-12y - 7z = 0
Nun setzen wir für z = 12u, wobei u beliebig reell sein kann; das dürfen wir, weil wegen der Abhängigkeit zweier Gleichungen eine Gleichung zu wenig vorhanden ist und daher eine Variable beliebig gewählt werden kann. Um alle Lösungen abzudecken, wird der Parameter u eingeführt.
Mit z = 12u wird y = -7u, damit gehen wir noch in eine der Gleichungen:
x - y - 2z = 0 -> x + 7u - 24u = 0 ->
x = 17u
Wir erhalten: (x;y;z) = (17u; -7u; 12u) oder
(x;y;z) = u*(17; -7; 12)
Geometrisch interpretiert heißt das, dass sich die durch die drei Gleichungen symbolisierten Ebenen nicht nur im (trivialen) Nullpunkt, sondern in einer Geraden durch diesen schneiden.
Analog gehst du bei den anderen zwei t vor.
Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002
Nummer des Beitrags: 666
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 01:17: |
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2b.
Für b = (1;1;-2) wird die Gleichung zu
| 2-t 3 6 |
|3 2-t -6 | * X = (1;1;-2)T
|-6-6 11-t|
T .. heisst, dass der Vektor transponiert, also als Spaltenvektor zu lesen ist.
Lösbar ist das LGS dann, wenn es
entweder eine eindeutige Lösung oder aber auch
unendlich viele Lösungen gibt.
Im Falle einer eindeutigen Lösung muss diesmal die Determinante D <> 0 sein, die Werte 5, -1 oder 11 für t sind somit ausgeschlossen. Für alle anderen Werte von t gibt es eine eindeutige Lösung. Die Definitionsmenge von t lautet demnach R \ {-1, 5, 11}
Für eine unendliche Lösungsvielfalt muss sowohl die Koeffizientendeterminante D, als auch jene Determinanten Dx, Dy, Dz, die man nach der Cramer'schen Regel erhält, wenn man jeweils die erste, zweite und dritte Spalte in D durch die Komponenten (1;1;2) des Vektors b ersetzt, Null werden! Diese Fälle können wiederum nur für t = 5, -1 oder 11 eintreten. Wir prüfen dies für t = -1
| 3 3 6 |
|3 3 -6 | = D
|-6-6 12|
| 1 3 6 |
|1 3 -6 | = Dx
|-2-6 12|
| 3 1 6 |
|3 1 -6 | = Dy
|-6-2 12|
| 3 3 1 |
| 3 3 1 | = Dz
|-6-6 -2|
Es ist unschwer zu erkennen, dass alle 4 Determinanten gleich 0 sind, weil immer eine Spalte (oder Zeile) ein Vielfaches einer anderen ist.
Hier gibt es also eine unendliche Vielfalt von Lösungen, die wir ähnlich wie vorhin ermitteln können.
3x + 3y + 6z = 1
3x + 3y - 6z = 1
-6x - 6y + 12z = -2
--------------------
3x + 3y + 6z = 1
3x + 3y - 6z = 1
3x + 3y - 6z = 1
--------------------
[2. und 3. Zeile sind abhängig]
3x + 3y + 6z = 1
3x + 3y - 6z = 1 |-
-------------------
12z = 0
z = 0, zwingend, kann man nicht wählen, daher x oder y wählen.
3x + 3y = 1
x + y = 1/3
x = u wählen, u € R; -> y = -u + (1/3)
(x;y;z) = (u; -u + (1/3); 0) oder
(x;y;z) = (0; 1/3; 0) + u*(1; -1; 0)
Wieder eine geometrische Deutung: Die durch das LGS bestimmten drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden durch den Punkt (0; 1/3; 0) und dem Richtungsvektor (1; -1; 0).
Für Puristen noch die Lösungsmenge L des LGS:
L = {(x;y;z) | x = u; y = -u + (1/3); z = 0 UND u € R)
Gr
mYthos
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