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Parameter, um GS zu lösen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Lineare Algebra » Gleichungen » Parameter, um GS zu lösen « Zurück Vor »

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Katrin (katrin000)
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Benutzername: katrin000

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 15:19:   Beitrag drucken

1) Für welche a1, a2 Element R ist das Gleichungssystem
x1-x2 = a1
x1+x3=a2
x2+x3 = 1
lösbar?

2) Für welche s, t Element R ist das folgende Gleichungssystem lösbar?

(2-t)x1 + 2tx2 - 3x3 = 2+t
2tx1 + (5-t)x2 - 6x3 = 5+ t
-3x1 - 6x2 + sx3 = -9
Vielen Dank im voraus.
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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 09:56:   Beitrag drucken

Kann mir vielleicht jemand bei 2) helfen?
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1432
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 10:49:   Beitrag drucken

NennerDeterminante:

(2-t)(5-t)s + 2t(-6)(-3) + (-3)2t(-6)
-
[(2-t)6(-6) + 2t2ts + (-3)(5-t)(-3)]
=
[10 + 72t - 7ts + t²s] - [-27 + 27t + 4t²s]
=
-3t²s -7ts + 45t - 17 muß ungleich 0 sein

s*(-3t² - 7t) <> 17 - 45t

s <> (45t-17)/[t*(3t+7)]
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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 15:14:   Beitrag drucken

Danke!
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2609
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 21:37:   Beitrag drucken

Hi

Auch die Lösung dieser Aufgabe muss gründlich
und prinzipiell überdacht werden!
Am besten übergeben wir das Problem an Mythos !
Er ist Spezialist, auch auf diesem Gebiet.

Ich erhalte das folgende Ergebnis
Die vier Determinanten lauten:
D = 10 s – 7 s t - 117 - 3 s t ^2 + 117 t
Das ist die Hauptdeterminante; falls sie nicht null ist,
erscheint sie als Nenner in den Auflösungsformeln für
die Unbekannten x , y , z gemäss Cramer.
Die andern Determinanten sind:
Dx = Dy = D ; Dz = 0

1.Fall
D ist von null verschieden
Dann gibt es genau eine Lösung, nämlich
x = 1 , y = 1, z = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

2.Fall
D ist null
Dann sind auch die andern Determinanten alle null,
und das System hat unendlich viele Lösungen
Ich zeige das für s = t = 1:
u sei ein reeller Parameter,
dann haben wir als Lösungen:
x = 3 – 2 u , y = u , z = 0

Warnung:
Es genügt nicht, nur die Hauptdeterminante zu Rate zu ziehen

So weit so gut

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 667
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 01:49:   Beitrag drucken

@Katrin,

wenn ich mich nicht irre, hast du kurz hintereinander insgesamt 4 Threads zu ganz ähnlichen Themen gepostet. Zwei davon (2 Aufgaben .. / lin. Unabhängikeit) habe ich ausführlich behandelt.

Führe dir bitte mal diese Antworten (und auch die konforme oben von megamath) zu Gemüte, ich denke, dir wird dabei vielleicht einiges klar werden. Im Falle noch anstehender Schwierigkeiten kann selbstverständlich noch weitere Hilfe geboten werden (- kann ich mich morgen bzw. heute damit befassen).

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 670
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 09:51:   Beitrag drucken

Hi,

mal zu 1.

Für die Lösbarkeit des LGS müssen wieder die bereits bekannten Kriterien gelten:

D <> 0 für eine eindeutige Lösung, oder

D = 0, Dx = Dy = Dz = 0 für unendlich viele Lösungen

Weil hier

|1-1 0|
|1 0 1| = D = 0
|0 1 1|

ist, kommt nur der zweite Fall in Betracht!

|a1 -1 0|
|a2 0 1 | = Dx = 0
| 1 1 1 |

3. Zeile von der 2. subtr. -->

| a1 -1 0 |
|a2-1 -1 0| = Dx = 0
| 1 1 1 |

-a1 - 1 + a2 = 0

a2 - a1 = 1
===========

Diesselbe Beziehung muss natürlich auch aus: Dy = 0 bzw. Dz = 0 resultieren, daher zur Probe:

|1 a1 0|
|1 a2 1| = Dy = 0
|0 1 1 |

a2 - 1 - a1 = 0 -> a2 - a1 = 0

und

| 1 -1 a1 |
|0 1 a2-a1| = Dz = 0
| 0 1 1 |

1 - a2 + a1 = 0 -> a2 - a1 = 1

Das LGS ist also dann lösbar, wenn a2 - a1 = 1 bzw. a2 = a1 + 1 ist.

Dessen Lösung gestaltet sich nun wie folgt (für a2 = a1 + 1 setzen):

x - y = a1
x + z = a1 + 1
y + z = 1
---------------
z + y = 1 (2. Zeile - 1. Zeile)

y = s (Parameter s beliebig € R)
z = -s + 1
x = s + a1

Die Lösungsmenge:

L = {(x;y;z) | x = s + a1; y = s; z = -s+1; s € R}

Geometrisch ist dies wieder eine Schnittgerade von drei Ebenen:

X = (a1; 0; 1) + s*(1; 0; -1)

Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 12:53:   Beitrag drucken

Vielen vielen Dank für die Hilfe bei den 4 Threads! Drucke jetzt alles aus und melde mich bei Fragen noch einmal!
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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 13:25:   Beitrag drucken

Hier noch eine Frage zu 2):
1.Fall
D ist von null verschieden
Dann gibt es genau eine Lösung, nämlich
x = 1 , y = 1, z = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

2.Fall
D ist null
Dann sind auch die andern Determinanten alle null,
und das System hat unendlich viele Lösungen
Ich zeige das für s = t = 1:
u sei ein reeller Parameter,
dann haben wir als Lösungen:
x = 3 – 2 u , y = u , z = 0

Wie kommt man auf die Lösung vom 1.Fall?
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 671
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 14:10:   Beitrag drucken

Hi,

noch etwas (damit dein Ausdruck stimmt)!
Friedrich's Lösung bei 2. stimmt nicht.

|2-t 2t -3|
|2t 5-t -6| = D =
| -3 -6 s |

| 2-t 2t -3 |
|4t-4 5-5t 0| =
| -3 -6 s |

= -3(-24t + 24 + 15 - 15t) + s(10 - 15t + 5t² - 8t² + 8t) =

= 117*(t - 1) - s*(3t² + 7t - 10) =
= (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)]

Somit gilt, dass das System dann eine eindeutige Lösung hat, wenn

t <> 1 UND s <> 117/(3t + 10) und wegen des Nenners t <> -10/3 ist.

Dass in diesem Falle (zufällig) die Lösung NICHT von t und s abhängt, hat Megamath bereits gezeigt (es ist allgemein die Cramer'sche Regel anzuwenden).

Im Falle von unendlich vielen Lösungen gilt wieder: D = Dx = Dy = Dz = 0

D = 0 -> t = 1 ODER s = 117/(3t + 10), gehen wir beispielsweise mit t = 1 weiter (dabei muss s <> 9 sein):

x + 2y - 3z = 3
2x + 4y - 6z = 6
-3x - 6y + sz = -9
-------------------

wir erkennen jetzt schon, dass die Zeilen 1 und 2 voneinander abhängig sind, somit auch Dx, Dy und Dz = 0 sind; ->

3x + 6y - 9z = 9
-3x - 6y + sz = -9
------------------
z*(s - 9) = 0
z = 0, ist zwingend, kann nicht gewählt werden, daher setze
y = u; -> x = 3 - 2u (aus 1)

Die Lösungsmenge:

L = {(x;y;z) | x = 3 - 2u; y = u; z = 0); u € R}

Gr
mYthos
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 672
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 14:57:   Beitrag drucken

Hi,

nun haben sich unsere Postings gekreuzt, weil ich doch etwas länger mit dem Problem beschäftigt war.

Fall 2. wird dir jetzt klar sein,

Fall 1.
Wir wenden die Cramer'sche Regel allgemein an:

D hatten wir ja schon:

|2-t 2t -3|
|2t 5-t -6| = D =
| -3 -6 s |

| 2-t 2t -3 |
|4t-4 5-5t 0| =
| -3 -6 s |

= -3(-24t + 24 + 15 - 15t) + s(10 - 15t + 5t² - 8t² + 8t) =

= 117*(t - 1) - s*(3t² + 7t - 10) =
= (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)]

nun beispielsweise Dx:

|2+t 2t -3 |
|1-t 5-t -6| = Dx =
| -9 -6 s |

| 2+t 2t -3 |
|1-t 5-5t 0| =
| -9 -6 s |

= -3(-6 + 6t + 45 - 45t) + s(10 - 5t - 5t² - 2t + 2t²) =

= -3*(39 - 39t) + s*(10 - 5t - 3t²) =
= 117*(t - 1) - s*(t - 1)*(3t + 10)

= (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)], identisch mit D!

Dx = D

x = Dx/D = 1

desgleichen kommen Dy = D, Dz = 0

Gr
mYthos
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Katrin000 (Katrin000)
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Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 13:29:   Beitrag drucken

Hier doch noch einmal eine Frage zu 2):
Wie kommt man darauf, so auszuklammern??

= -3(-24t + 24 + 15 - 15t) + s(10 - 15t + 5t² - 8t² + 8t) =

= 117*(t - 1) - s*(3t² + 7t - 10) =
= (t - 1)*[117 - s*(3t + 10)]

Das fällt doch einem normalen Schüler nicht auf!?
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 2684
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. September, 2003 - 15:00:   Beitrag drucken

Hi Katrin,24.09.16:00

Ein normaler Lehrer (solche gibt es schon) wird seine
Schüler rechtzeitig darauf aufmerksam machen,
dass quadratische Funktionen y = a x ^ 2 + b x + c
mit Hilfe ihrer Nullstellen x1, x2 in Linearfaktoren
zerlegt werden können:

Resultat:
y = a ( x – x1) (x - x2)
Machen wir die Probe aufs Exempel:
Sei
y =3 x ^ 2 + 7 x – 10 (es steht x statt t)
Du findest leicht die Nullstellen,
nämlich x1 = 1 und x2 = - 10 / 3, somit lautet die
Faktorzerlegung:
y = 3 (x – 1) (x + 10/3) = (x - 1) (3x + 10)
Die erste Nullstelle x1 = 1 kann man erahnen,
die zweite kann man im Kopf rechnen, z.B mit Vieta:
es muss ja gelten
x1 * x2 = - 10/3 oder
x1 + x2 = - 7/3
Voilà

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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