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1 Frage/ 1 Aufgabe

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Integralrechnung » Integral/Stammfunktion » 1 Frage/ 1 Aufgabe « Zurück Vor »

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Katrin (katrin000)
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Mitglied
Benutzername: katrin000

Nummer des Beitrags: 18
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 12:07:   Beitrag drucken

1) Habe ich richtig aufgeleitet?

f(x) = (ln (kx))² - 2 ln (kx)

F(x) = ln (kx)*(x*ln(kx)-x) + x + x - x*ln(kx)-2(x*ln(kx)-x)

2) f(x) = x*(1-(1/k)*ln x)

Bestimmen Sie lim x gegen 0 f(x) und berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse einschließt! Für welchen Wert von k wird dieser Flächeninhalt extremal?

F(x) = (x²/2)*(1-(1/k)*ln x) - (x²/(4k))

Ist das richtig? Wie löse ich die Aufgabe?
Vielen Dank im voraus.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1425
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 12:57:   Beitrag drucken

Lass dir soweit wie möglich von
Mathdraw(Rechenfunktionen) helfen
um die Richtigkeit von Ab- und Aufleitungen zu überprüfen.( Grenzwerte kann Mathdraw auch,
zeigt dazu aber nicht die Rechenschritte
an wie beim Differenzieren und Integrieren )
zu 2)
es muss F(x) = ... +x²/(4k) lauten.

Grenzwert:
die "0*unendlich" Form in die "unendlich / (1/0)" Form umformen,
das
ist dann eine "unendlich / unendlich" Form, die mit L'Hospital
Berechenbar ist

limx->0[x*(1 - lnx / k)] = limx->0[(1 - lnx / k)/ ( 1/x)]

limx->0[(1 - lnx / k)/ ( 1/x) = limx->0(1 - lnx / k)'/(1/x)'

limx->0[x*(1 - lnx / k)] = limx->0[(-1/(k*x))/(-1/x²) = x/k = 0

Extremalfläche

f(x) hat 2 0stellen:
x = 0
und 1 - lnx/k = 0

zwischen diesen beiden integriere f(x)dx um Fläche A(k)
zu bestimmen,
bestimme dann A'(k) durch differenzieren nach k
und Löse A'(k) = 0 nach k auf.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Katrin000 (Katrin000)
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Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 09:55:   Beitrag drucken

Danke schon mal!
War 1) denn richtig?? Ich weiß, dass der zweite Schnittpunkt e^(1/k) ist. Wie
zeige ich das rechnerisch? Und wie löse ich nach k auf, wenn ich e^(1/k) habe?
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1433
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 11:52:   Beitrag drucken

1) ja, stimmt. Mühsam zu prüfen.
Läßt sich zu x*(ln(kx)-2)² vereinfachen.
( vielleich wäre die Integration selbst
dann auch einfacher wenn man
ln²(kx)-2ln(kx) als [ln(kx)-1]²-1
betrachtet hätte.
Kommst Du
mit mathdraw nicht zurecht?
------
2)
1 - lnx / k = 0
1 = lnx / k
k = lnx
e^k = x
Sprichts Du von einer anderen Funktion als

f(x) = x*(1 - lnx / k )

???
Wenn es aber um die 0stellen der 1ten Aufgabe
geht,
dann
f(x)=[ln(kx)-1]²-1 = 0

ln(kx)-1 = ±1
ln(kx1) = 0; kx1=1; x1 = 1/k
ln(kx2) = 2; kx2=e²; x2= e²/k
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Katrin000 (Katrin000)
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Mitglied
Benutzername: Katrin000

Nummer des Beitrags: 31
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 14:52:   Beitrag drucken

F(x) = 0,5x²(1-lnx / k ) + (1/4k)*x²

Grenze e^k eingesetzt ergibt:

(1/(4k)*e^(2k)

Das ergibt abgeleitet:

(1/(2k))*e^(2k) - (1/(4k²)*e^(2k)

Also

1/(2k) - 1/(4k²) = 0

Ist das soweit richtig?
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1439
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 16. September, 2003 - 20:12:   Beitrag drucken

JA
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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