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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2587
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 12:13: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 49(!) ist wiederum eine Ortskurve
zu bestimmen.
Von einem Dreieck ABC ist die Seite BC = a = 6 und die
Seitensumme AB + AC = 10 gegeben.
Welches ist die Ortskurve des Schwerpunktes des Dreiecks?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 239
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 23:14: |
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Hi Megamath,
Ich habe mich zunächst dieser Aufgabe angenommen,da ich hier sofort einen Ansatz hatte...
Meine Idee:
Zuerst drücke ich die Koordinaten der Punkte A,B und C in Abhängigkeit von der Dreiecksgrundseite c aus.
Die Dreiecksseiten sind:
a=6,b=10-c,c
Die Koordinaten der Punkte:
A(0|0)
B(c|0)
Es gilt nun noch die Koordinaten von Punkt C zu ermitteln.
Ich stelle zu diesem Zweck zunächst zwei Kreisgleichungen auf:
1) x2+y2=(10-c)2
2) (x-c)2+y2=62
1) umgeformt: x2+y2-c2+20c-100=0
2) umgeformt: x2+y2+c2-2xc-36=0
1)-2) ergibt:
2xc-2c2+20c-64=0
=>
x=c+32/c-10 , die x-Koordinate des Punktes C ist bestimmt.
x in y=sqrt[(10-c)2-x2] ergibt
y=8*sqrt(10/c-16/c2-1) , was die y-Komponente des Punktes C ist.
Also gilt für Punkt C:
C(c+32/c-10|8*sqrt(10/c-16/c2-1))
Mit Hilfe des arithmetischen Mittels berechne ich xs:
xs=(0+c+32/c-10+c)/3
xs=2c/3+32/(3c)-10/3
ys entspricht h/3 und damit
ys=8/3*sqrt(10/c-16/c2-1)
So,ich habe mit ein paar Zahlenwerten getestet,scheint zu stimmen!
Ich bin gespannt,wie eine einfachere Lösung aussieht,falls es sie gibt.
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 13., September. 2003 von heavyweight editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2596
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 10:49: |
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Hi Olaf,
Probiere einmal, den Parameter c zu eliminieren und den Typ der Ortskurve zu ermitteln.
Ich habe ein ganz anderes Lösungskonzept,das ich erst morgen verrate.
(Denke an die konstante Abstandssumme !)
Dasselbe Konzept verwende ich bei der Lösung der Aufgabe 50.
Heute noch kommen neue Aufgaben:
die Aufgaben 51 und 52.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 241
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 11:15: |
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Hi Megamath,
Dieses Problem war mir bewußt.Leider fällt einem (oder zumindest mir) das erst auf,wenn
die Rechnung fertig ist.Deshalb habe ich auch vermutet,daß Deine Lösung anders aussehen wird.
Bis später,
Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2601
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 20:13: |
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Hi
Es folgt eine Schnelllösung der Dreiecksaufgabe 49.
Die Aufgabe hat´s sowieso in sich, wie ihre Nummer auch.
Die Lösung kann ganz ohne Rechnung, dafür
umso geometrischer und ganz im Hinterkopf,
völlig ohne Papier gelöst werden.
Das geht so:
Da die Summe AB + AC konstant ist, läuft A auf einer
Ellipse mit B und C als Brennpunkte.
Der Mittelpunkt O der Strecke BC ist der Mittelpunkt der
Ellipse. Durch ihn geht auch die Schwerlinie sa, die zur
Ecke A gehört.
Der Schwerpunkt liegt im unteren Drittel dieser Schwerlinie.
Wir denken sofort an den Vorgang der perspekiv ähnlichen
Abbildung, Zentrum in O, Ähnlichkeitsverhältmis 1: 3.
Urbild : Ellipse mit den Halbachsen m = 5, n = 4;
Bild (Ortskurve): Ellipse mit den Halbachsen 5/3, 4/3.
So einfach ist das, hihi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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