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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2585
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 08:13: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 48 ist wiederum eine Ortskurve
zu bestimmen.
Ermittle die Ortskurve der Ecke A des Dreiecks ABC
mit der Seite BC = 2a (a>0), wenn
tan (alpha) = 6 tan (beta) ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2595
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 09:22: |
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Hi allerseits
Erste Hilfe:
Bette das Dreieck in ein cartesisches Koordinatensystem ein;
Koordinaten der Ecken:
A(x/y),B(-a/0),C(a/0)
Arbeite mit den Tangenswerten der Winkel,setze den Aussenwinkelsatz und
das Subtraktionstheorem des Tangens ein..
Viel Erfolg !
MfG
H.R.Moser,megamath |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 240
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 09:46: |
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Hi Megamath,
Danke für die Tips!
Heute abend werde ich mich nochmal an dieser Aufgabe versuchen.Bis dahin bin ich anderweitig
eingespannt.
Gruß,Olaf |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 242
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 20:18: |
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Hi Megamath,
Ich habe als Ortskurve die Gerade y=x/3*sqrt(6) zu bieten.
Stimmt dies nicht,gebe ich mich geschlagen...
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2602
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 20:52: |
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Hi Olaf
ich habe einen Kreis:
Mittelpunkt M(a/6; 0),r= 7/6 a
Dre Kreis geht durch B
Wir wollen das morgen näher ansehen!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2603
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 06:23: |
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Hi Olaf
Hier meine Lösung zu dieser Aufgabe.
Wir betten das Dreieck in ein cartesisches
Koordinatensystem ein;
Koordinaten der Ecken:
A(x/y), B(-a/0), C(a/0).
phi sei der Supplementärwinkel des Winkels
gamma und damit der Außenwinkel bei C
für das Dreieck ABC.
Nach dem Außenwinkelsatz gilt:
phi = alpha + beta, also alpha = phi – beta.
Wir ermitteln die Tangenswerte der Winkel
beta, phi und alpha, in dieser Reihenfolge:
tan beta = y / (x+ a)
tan phi = y / (x - a)
tan alpha = tan (phi – beta) ; nach dem
Subtraktionstheorem des Tangens kommt:
tan alpha =
[tan phi – tan beta] / [ 1 + tan phi * tan beta]
Wir setzen die Werte rechts ein und verwandeln den
Doppelbruch in einen einfachen Bruch; Resultat:
tan alpha = 2 a^2 – a^2 + y^2)
Jetzt kommt die Bedingung
tan alpha = 6 tan beta zum Einsatz; es entsteht die Relation
(y hebt sich beiderseits weg):
a x + a ^ 2 = 3 x ^ 2 – 3 a ^ 2 + 3 y ^ 2, vereinfacht zu
x ^ 2 + y ^ 2 - a/3 x = 4/3 a ^ 2 ;
es entsteht die Kreisgleichung
( x – a / 6 ) ^ 2 + y ^ 2 = 49 / 36 a ^ 2
Mittelpunkt M(a/6;0), Radius r = 7/6 a.
Bitte kontrollieren!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2605
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 09:53: |
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Hi allerseits,
Fortsetzung Lösungsschritte zur Dreiecksaufgabe 50.
4.
Mit dem Wert für rho bekommen wir gerade die Ordinate v
des Inkreismittelpunktes I (u/v) ; also
v = 3/2 * sin t.
5
Um I(u/v) endgültig zu bestimmen, ermitteln wir die
Innenwinkelhalbierende wi bei der Ecke A.
Am besten ist es, einen Richtungsvektor von wi mit den
bekannten Methoden der Vektorrechnung zu ermitteln.
Dazu brauchen wir die Abstände r1 und r2 des laufenden
Punktes A( 5 cos t / 4 sin t) der Ellipse von den Punkten
B (-3/0) und C(3/0).
Nach leichter Rechnung finden wir das verblüffend einfache
Resultat:
r1 = 5 + 3 cos t ,
r2 = 5 - 3 cos t
daraus prophylaktisch:
r1 * r2 = 25 – 9 cos^2 t
Nun stellen wir die Richtungseinheitsvektoren w1, w2
der Seiten AB und AC auf, damit mit deren Summe
w = w1 + w2
einen Richtungsvektor w von wi entsteht.
Resultate:
w1 = 1 / r1 {-3 – 5 cos t ; - 4 sin t ]
w2 = 1 / r2 { 3 – 5 cos t ; - 4 sin t ]
Resultat fix und fertig ausgerechnet und vereinfacht:
w = {4 cos t ; 5 sin t }
Gleichung der Winkelhalbierenden wi mit s als Parameter:
x = 5 cos t + s * 4 cos t
y = 4 sin t + s * 5 sin t
6.
Um den Inkreismittelpunkt I(u/v) zu bekommen,
schneiden wir die Gerade wi mit der Parallelen
y = rho = 3/2 sin t zur x-Achse;
Ergebnis ( mit s = - ½ ) :
u = 3 cos t
v = 3/2 sin t
Das ist eine Parameterdarstellung der Ellipse
9/4 u^2 + 9 v ^2 = 81/4 oder
9 u ^2 + 36 v ^2 = 81
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Heavyweight (Heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Heavyweight
Nummer des Beitrags: 243
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 17:33: |
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Hi Megamath,
Vielen Dank für Deine Mühe!
Ich werde nun erstmal alles nachrechnen.
Es ist mir ein wenig peinlich,daß ich bei den Lösungen dieser Aufgaben so auf der Leitung
gestanden habe.Ich behaupte nicht,daß ich sie allein hätte lösen können,die einzelnen
"Bausteine" sind mir aber zumindest bekannt (Kegelschnitte in kartesischen Koordinaten,
in Parameterdarstellung,auch in Polarkoordinaten).Der Stoff ist einfach durch fehlende Übung noch nicht verinnerlicht,ich habe keine Verbindung zu Deinen Aufgaben hergestellt.
Gruß,Olaf |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 2608
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 15. September, 2003 - 20:32: |
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Hi Olaf,
Grundsatz: es bleibt immer etwas hängen,
oder wie der Lateiner sagt:
semper aliquid haeret !
Wie schnell man doch am Ende mit seinem Latein sein kann,
da braucht man nicht Altphilologe zu sein,hihi.
Ich komme auf dieses Thema zurück.
Es besteht kein Grund ,den Mut sinken zu lassen.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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