| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2578
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 07:53: | 
|
Hi allerseits,
mit der Vierecksecksaufgabe 123 sind Extremalaufgaben
zu lösen, die Hauptrolle spielt hier ein Trapez,
und die Aufgabe gehört daher zu den Vierecksaufgaben.
Die Aufgabe lautet:
Gegeben wird der Kreis k:
x^2 + y ^2 = R^2, (R>0) und der Punkt C (R / v) ; v> =R .
Die Kreistangente t1 durch C berührt den Kreis im
Punkt B1 auf der x –Achse, die zweite Kreistangente t2
berührt k in B2 und schneidet die y-Achse in D.
Das Viereck O B1 C D ist ein Trapez T.
a)
Für welchen Wert von v wird die Fläche des Trapezes T
extremal ?
b)
Für welchen Wert von v wird der Umfang des Trapezes T
extremal ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 872
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 19:03: |
|
Hi megamath,
ich stehe vor einem Problem!
Bei mir gibt es kein v, das dies erfüllt. Ich finde zwar ein v für das die Fläche und der Umfang extremal werden, aber dies ist nicht >=R!
Hier mal meine bisherigen Ergebnisse!
Die Tangenten heißen:
x = R und y = mx + ( v - Rm) mit m = (v^2-R^2)/(2vR)
D.h. die vier Punkte lauten:
(0|0) , (R|0) , (R|v) , (0|[(v^2+R^2)/2v])
Die Flächeinhaltsfunktion demnach:
A = f(v) = R* [ (3v^2+R^2)/(4v) ]
Die Umfangsfunktion:
U = f(v)= [2v^2+Rv+R^2]/v
Meine Extrema
AEx = > v = R / sqrt(3)
UEx = > v = R / sqrt(2)
Wo ist mein Fehler??
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2583
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 21:25: |
|
Hi Ferdi,
Du hast alles richtig gerechnet, inklusive die Extrema.
Ursprünglich hat die Aufgabe anders gelautet.
Dabei ist die Bedingung v >= R stehen geblieben;
die muss weg;wir ersetzen sie durch v>0 und
übrig bleibt eine hübsche Extremalaufgabe;
das muss jeder zugeben, der sie gelöst hat.
Es war nicht meine Absicht,Dich zu irritieren; sorry.
Weiterhin wünsche ich Dir einen guten Dienst.
Morgen schon geht´s in den Urlaub.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2586
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 09:27: |
|
Hi Ferdi
Noch ein paar zusätzliche Bemerkungen zur Vierecksaufgabe 123.
Bei der Lösung dieser schönen Aufgabe bist Du sehr professionell
vorgegangen, indem Du die Gleichung der Tangente
in einer der Allgemeinheit wenig bekannten Form angewendet hast.
Es ist reizvoll, den Lösungsansatz auch etwas elementarer
durchzuführen, bei dem der geometrische Aspekt etwas mehr
zum Zug kommt.
Ich meine Folgendes:
Die Parallele zur x-Achse durch D schneidet die Gerade B1 C in H.
Wir zeigen zuerst: DO = DC, denn das Dreieck DOC ist wegen
gleicher Basiswinkel bei O und C gleichschenklig.
Somit gilt nach Pythagoras:
DC^2 = DH^2 + CH^2 = (schon wieder CH , hihi……………..)
= R^2 +( v - DC)^2 ,
daraus sofort durch Auflösen nach DC:
DC = (R^2 + v^2) / 2 v
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Setze oBdA : R = 1, und vergleiche die Flächenfunktion
F= F( v) = ¾ v + ¼ 1/v
mit der Umfangsfunktion P (x) ( P wie périmètre)
P = P(v) = 1 + 2 v + 1 /v.
Was da alles superponiert wird; wer wundert sich über das fast
gleiche Resultat bezüglich F und P ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
