| Autor |
Beitrag |
    
lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 16
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 07:38: | 
|
Hallo,
ich habe ein Gleichungssystem aufzulösen
Verlangt wird, dass die Lösungen exakt berechnet werden.
Das System lautet:
k ln (T + 1) - k ln T = 60
k ln (T + 2) - k ln T = 90
Gesucht werden T und k.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar
Lisette
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2579
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 09:13: |
|
Hi Lisette,
Dividiere die beiden Gleichung, und verwende einen
bekannten Logarithmensatzsatz:
2 ln [ (T+2) / T] = 3 ln [(T+1) / T], daraus folgt mit einem
weitern Logarithmensatz
ln [ (T+2) / T] ^ 2 = ln [(T+1) / T]^ 3 oder
ln [ 1+ 2 / T] ^ 2 = ln [ 1 + 1 / T] ^ 3
oder logarithmenfrei:
[ 1+ 2 / T] ^2 = [ 1 + 1 / T] ^ 3
Setze nun 1/ T = M, dann kommt eine Gleichung in M:
(1 + 2 M) ^ 2 = (1 + M) ^3 oder
1 + 4 M + 4 M^2 = 1 + 3 M + 3 M^2 + M^3
vereinfacht und geordnet:
M^3 - M^ 2 - M = 0; M ist wegen M = 1/T nicht null,
somit bleibt die quadratische Gleichung:
M ^ 2 - M - 1 = 0
Auflösung nach M oder ersetze jetzt schon M durch 1/T;
Dann entsteht:
T^2 + T – 1 = 0 mit den Lösungen
T1 = ½ (sqrt(5) – 1) und
T2 = - ½ (sqrt(5)+1)
Diese Werte sind uns sehr wohl bekannt; man denke
an die Teilung nach dem goldenen Schnitt !
Schon wieder dieses Phänomen, bravo!
Jetzt geht es noch darum, k zu berechnen:
k1 = 60 / ln[ (T1+1) / T1] = 60 / ln [ ½ (3 + sqrt(5) ]
k2 = 60 / ln[ (T2+1) / T2] = 60 / ln [ ½ (3 - sqrt(5) ]
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
lisette (lisette)
Mitglied
Benutzername: lisette
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 13:16: |
|
Hallo megamath,
Herzlichen Dank für Deine Lösung; sie hat mir weitergeholfen
Jetzt habe ich im gleichen Zusammenhang ein neues Problem,
das ich gerne hier veröffentlichen möchte.
Die Aufgabe lautet:
Man berechne das bestimmte Integral der Funktion
f(x) = 2 ln [ (x+2) / x] – 3 ln [ (x+1) / x ] als Integrand
mit der unteren Grenze 1 und der oberen Grenze 2.
Vielen Dank für Eure Hilfe
Lisette
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2580
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 14:53: |
|
Hi Lisette,
Du hast sicher nichts dagegen, wenn ich Dir wiederum
bei Deinen Problemen helfe.
Hier geht es um ein kleines Bisschen partieller Integration
(genetivus partitivus, hihi).
Wir integrieren zunächst unbestimmt und ermitteln
J(x) =int [ln{(x+n) / x} *dx] = int [ln {(1+n / x) } *dx]
int [ 1 * ln {(1 + n / x) } *dx] = (durch part Int)
= x ln ( 1 + n / x ) – int [x* (- n/x^2) / (1+n/x ) * dx ] =
x ln ( 1 + n / x ) + n int [ 1 / (x + n) *dx ] =
x ln ( 1 + n / x ) + n ln (x + n)
Für n = 2 kommt:
J2(x) = x ln ( 1 + 2 / x ) + 2 ln (x + 2)
Für n = 1 kommt:
J1(x) = x ln ( 1 + 1 / x ) + ln (x + 1)
Brücksichtige die Koeffizienten 2 und -3,
und setze die Grenzen ein, dann erhältst Du
das Ergebnis:
2 [6 ln 2 – 3 ln 3] – 3 [3 ln 3 – 4 ln 2 ] =
24 ln 2 – 15 ln 3
°°°°°°°°°°°°°°°°
MfG
H.R.Moser,megamath |
|
