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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2574
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 14:14: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 47 sind Ortskurven zu bestimmen.
In einem cartesischen Koordinatensystem sind die Ecken
OBC eines festen Dreiecks wie folgt gegeben:
O(0/0), B(6/0), C(0/6).
Wir hauchen diesem Dreieck Leben ein:
In Abhängigkeit des Parameters t bewegen sich die Punkte
P(t/0) auf der x-Achse und Q(0/12 - t) auf der y-Achse,
wobei t kontinuierlich das Intervall 6 < = t < = 12 durchläuft.
a) Bestimme die Ortskurve des Schwerpunktes des
Dreiecks OPQ. Markiere besonders den Anfangspunkt für t = 6
und den Endpunkt für t = 12.
b) Bestimme die Ortskurve des Schnittpunktes der Geraden
AQ und BP.
Markiere besonders den Anfangspunkt für t = 6
und den Endpunkt für t = 12.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 234
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 18:38: |
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Hi Megamath,
Ich erhalte zu a)
S[t/3|-(t-12)/3]
Wenn Du damit einverstanden bist,folgt spätestens morgen die Lösung.
Gruß,Olaf |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 235
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 20:42: |
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Naja,ist wohl klar,daß das Ergebnis stimmt.Der Schwerpunkt muß ja im Abstand 1/3 der jeweiligen Seitenlänge vom Ursprung liegen.Ist mir grad garnicht aufgefallen...
Gruß,Olaf |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 236
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. September, 2003 - 23:50: |
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Hi Megamath,
Man stellt zuerst die vektoriellen Geradengleichungen für die Seitenhalbierenden von OP und OQ auf:
g1: x=1/2*p+l*s1
mit s1=q-1/2*p
=> g1: x=(t/2,0)+l*(-t/2,12-t)
g2: x=1/2*q+m*s2
mit s2=p-1/2*q
=> g2: x=(0,(12-t)/2)+m*(t,(t-12)/2)
Man setzt die Geraden gleich:
(t/2,0)+l*(-t/2,12-t)=(0,(12-t)/2)+m*(t,(t-12)/2)
=>
1) t/2-l*t/2=t*m
2) l*(12-t)=(12-t)/2+m*(t-12)/2
=> l=m=1/3
Für die Parameterwerte ergibt sich
S(t/3|(12-t)/3)
Andere Möglichkeit:
Man stellt die Geradengleichung für PQ auf:
y=(t-12)/2*x+12-t
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist:
A=t*(12-t)/2
Es ergibt sich:
xs=1/A*ò0t y*x dx=t/3
ys=1/(2A)*ò0t y2 dx=(12-t)/3
Frage zu Aufgabenteil b):
Was ist nun Punkt A?Ein beliebiger Punkt in der Ebene?
Gruß,Olaf
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2584
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 07:35: |
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Hi Olaf,
Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 47a)
Das Resultat ist richtig.
Ich bewundere Dein rechnerisches Durchstehvermögen;bravo!
Es gibt einen wesentlich kürzeren Lösungsweg,
wenn Du von der Tatsache Gebrauch machst,
dass jede Koordinate des Schwerpunktes im Dreieck
mit dem arithmetischen Mittel der gleichnamigen
Koordinaten der Ecken übereinstimmt.
Man erhält sofort:
xS = (0 + t + 0) / 3 = t/3
yS = [0 + 0 + (12 – t)] / 3 = 4 – t/3
Die letzten beiden Zeilen stellen die Parameterdarstellung
der gesuchten Ortkurve dar.
Wird der Parameter t eliminiert, so entsteht die Gleichung
y = 4 – x, die Gleichung einer Geraden.
Der gesuchte g.O. ist die Strecke MN auf dieser Geraden mit
M(2/2) für t = 6 ,
N(4/0) für t = 12.
Zu b)
Welches ist der Punkt A ?
Es hat sich im Aufgabentext ein Fehler eingeschlichen!
Richtig soll es heißen:
Bestimme die Ortskurve des Schnittpunktes der Geraden
BQ und CP
statt
Bestimme die Ortskurve des Schnittpunktes der Geraden
AQ und BP
Es wird also je ein fester Punkt der einen Achse mit einem
beweglichen der andern Achse verbunden.
Ich bitte um Entschuldigung und wünsche guten Erfolg
mit den neuen Daten!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 237
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 17:14: |
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Hi Megamath,
Zu b)
g1: x=b+l*a1
g2: x=c+m*a2
mit a1=q-b und a2=p-c
=>
g1: x=(6,0)+l*(-6,12-t)
g2: x=(0,6)+m*(t,-6)
Schnittpunkt:
(6,0)+l*(-6,12-t)=(0,6)+m*(t,-6)
1) 6-6*l=m*t
2) l*(12-t)=6-6*m
=> l=m=6/(6-t)
l oder m eingesetzt ergibt
x=6t/(t-6)
y=6(t-12)/(t-6)
Paramter t eliminiert:
y=6(x+1)
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 12., September. 2003 von heavyweight editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2591
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 17:33: |
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Hi Olaf,
Jetzt hat es funktioniert,bravo !
Ich habe dieselbe Parameterdarstellung
Als parameterfreie Geradengleichung bekomme ich
x + y = 12
Bitte kontrollieren!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 238
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. September, 2003 - 17:41: |
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Hi Megamath,
Alles klar,da ist mir ein Rechenfehler unterlaufen.
x+y=12 stimmt also!
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2594
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. September, 2003 - 09:13: |
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Hi allerseits,
es folgt eine Kurzlösung der Teilaufgabe b)
zur Dreiecksaufgabe 47.
Gleichung der Geraden BQ:
(12 – t ) x + 6 y = 72 – 6 t
Gleichung der Geraden CP:
6 x + t y = 6 t
Auflösung des Systems nach x, y ; Ergebnis:
x = 6 t / (t – 6 )
y = 6 (t – 12) / ( t – 6 )
Die letzten beiden Gleichungen stellen einr Parameterdarstellung
der gesuchten Ortkurve dar.
Wird der Parameter t eliminiert, so entsteht die Gleichung
x + y = 12 (Kontrolle durch Einsetzen ),
die Gleichung einer Geraden g.
Der gesuchte g.O. ist ein Strahl Moo N
auf dieser Geraden mit
M für t = 6 : unendlich ferner Punkt von g
N für t = 1 : N(15/-3)
Damit ist die Aufgabe b) gelöst.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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