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Tally (tally333)
Mitglied
Benutzername: tally333
Nummer des Beitrags: 17
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 09. September, 2003 - 19:43: | 
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Hallo!
Gegeben ist die Funktion f(x)=e^-x und die Tangente zu f(x) an einer beliebigen Stelle u mit y=e^-u * (1+u-x)
Für welches u hat das Dreieck, gebildet aus der Tangente und den beiden Koordinatenachsen, maximalen Flächeninhalt?
Komme nicht auf den Ansatz. |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 655
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. September, 2003 - 00:31: |
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Hi,
die Tangente mit den Achsen schneiden (einmal x = 0 bzw. y = 0 setzen).
Es ergeben sich die Punkte X(1+u | 0) und Y( 0 | (1+u)*e^(-u) ), sinnvollerweise ist u > 0.
Das ggst. Dreieck ist rechtwinkelig, dessen Fläche ist (1/2) mal dem x-Wert von X mal dem y-Wert von Y:
A = (1/2)*(1+u)²*e^(-u) .. Max (Hauptbedingung)
(1/2 kann f. d. Extr. weggelassen werden)
f(u) = (1+u)²*e^(-u)
f '(u) = 2*(1+u)*e^(-u) - (1+u)²*e^(-u)
f '(u) = (1+u)*e^(-u)*(2-1-u)
f '(u) = (1+u)*e^(-u)*(1-u) -> 0
1 - u = 0
u = 1
=====
f '(u) = (1-u²)*e^(-u)
f ''(u) = -2u*e^(-u) - (1-u²)*e^(-u)
f ''(u) = e^(-u)*(u²-2u-1)
f ''(1) = (1/e)*(-2) < 0 Maximum!
Der maximale Flächeninhalt beträgt also
A = (1/2)*2²*(1/e) = 2/e E²
Gr
mYthos
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