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Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 33
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 14:44: | 
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In einem kartesischen Koordinatensystem sind zwei Ebenen E1 und E2 gegeben durch
E1: 8x1 - 4x2 + x3 - 81 = 0
E2: 2x1 + 2x2 - x3 - 9 = 0
Außerdem ist eine Kugel gegeben durch
Ka: (x1-a)^2 + (x2-2a)^2 + x3^2 - 81 = 0 |
Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 34
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 14:48: |
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weiter gehts mit den Fragen
a) Unter welchem Winkel schneiden sich E1 und E2?
Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E1 und E2.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, auf der die Mittelpunkte aller Kugeln Ka liegen.
Begründen Sie, dass alle Kugeln Ka mit der x1x2 -Ebene gleichgroße Schnittkreise aufweisen.
Für welche Werte von a hat die Kugel Ka mit der x1x3- Ebene mehr als einen Punkt gemeinsam? |
Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 35
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 14:53: |
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b) Welche der Kugeln Ka liegt dem Punkt
Q(-3/14/8) am nächsten?
Wie groß ist der Mindestabstand des Punktes Q von einem Punkt dieser Kugel?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den paramterwerten a1 und a2, wenn sich die zugehörigen Kugeln Ka1 und Ka2 in einem Kreis mit dem radius r = 6 schneiden? |
Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 36
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 14:56: |
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c) Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung
g: x= (8/-5/-3) + t*(1/5/12)
sowie der Punkt P(10/-3/-4).
Geben Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene durch ga an, die den größtmöglichen Abstand vom Punkt P hat. |
Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 37
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 14:57: |
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g ist in Paramterform angeben und mit ga meine ich g |
Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 15:00: |
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jetzt noch d)
Auf der Kugel K0 liegen die Punkte A(8/4/-1) und B(4/-4/7);
der Kugelmittelpunkt sei M0.
Ein kleines Modellflugzeug fährt auf K0 auf dem kürzesten Weg von A nach B, also auf dem Bogen eines Kreises mit Mittelpunkt M0.
Aufgrund seiner ständig wachsenden Geschwindigkeit hebt das Flugzeug in B von der Kugel ab und fliegt längs einer Kugeltangente t genau in der Richtung weiter, in der es in B angekommen ist.
Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Tangente t. |
Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 39
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 15:02: |
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Wäre echt superfroh, wenn mir hier jemand weiterhelfen kann!!! Muss auch nicht alles auf einmal sein, Teilaufgaben reichen auch, hauptsache verständlich.
Vielen vielen Dank, denn ich brauche das bis montag.
grüße, ana |
H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2553
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 17:17: |
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Hi Anabel,
Deine Monsteraufgabe ist an und für sich reizvoll
und gut konzipiert. Bevor wir mit Lösungen herausrücken, möchten wir gerne wissen,
welche Vorarbeit Du bereits geleistet hast.
MfG
H.R.Moser,megaamth |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2554
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 18:25: |
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Hi Anabel
Vorbemerkung: wir schreiben x,y,z
statt x1,y1,z1.
Die Kugel Ka hat den Mittelpunkt Ma(a/2a/0)
und den festen Radius R = 9.
Die Mittelpunkte dieser Kugelschar liegen somit auf
der (x,y)-Ebene und zwar auf der Geraden g mit der
Parametergleichung
x = t, y = 2 t (direkt ersichtlich), ohne Parameter t:
y = 2 x ; g geht durch den Nullpunkt O.
Die Schnittkreise aller Kugeln mit der (x,y)-Ebene
sind Kreise, deren Radien mit dem Kugelradius R = 9
übereinstimmen, da die Mittelpunkte aller Kugeln
in dieser Ebene liegen.
Diese Kreise sind lauter Grosskreise der Kugeln,
wie man sagt.
Schneiden wir die Kugeln mit der (x,z) –Ebene
Deren Gleichung lautet: y = 0
Eingesetzt in die Kugelgleichung kommt als Gleichung
Des Schnittkreises in der Ebene y = 0:
(x-a)^2 +(0-2a)^2 + z^2 = 81 oder
(x-a)^2+z^2 = 81 – 4 a^2
Rechts steht das Quadrat des Schnittkreisradius
Soll dieser reell sein, so muss gelten
81 – 4 a^2 > 0 , d.h
- 4,5 < a < 4,5
In diesem Fall also hat eine Kugel der Schar mehr als einen
Punkt mit der (y,z) Ebene gemeinsam.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 19:22: |
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hi!
Danke schon mal!!!
Da du nach meiner Vorarbeit fragst, kann ich nur sagen, dass diese eher mager aussieht, da ich so eine Aufgabe mit eienr Kugel noch nicht bearbeitet habe und deshalb Hilfe brauche.
Aber den Schnittwinkel von E1 und E2 sowie die Gleichung der Schnittgeraden kann ich alleine berechnen (bei a)) das ist doch schon mal was!
Hoffe auf weitere Hilfe *danke* |
H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2555
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 20:44: |
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Hi Anabel
Jetzt gehen wir auf die Suche nach einer Kugel,
die dem Punkt Q( -3 / 14 / 8) am nächsten ist.
Die Mittelpunkte der Kugeln laufen, wie wir gezeigt haben,
auf der Geraden g.
Wir benützen den Richtungsvektor v = {1; 2 ;0} von g.
(Pfeil über v, hihi).
Durch Q legen wir die Normalebene N zu g :
Der Vektor v ist zugleich ein Normalenvektor von N,
also lautet eine Koordinatengleichung von N so:
x + 2 y + 0 z = d.
Die Kons-tante (!) d finden wir aus der Bedingung, dass Q auf
der Ebene N liegt.
Wir setzen die Koordinaten von Q in den Ansatz ein; es kommt:
- 3 + 28 = d ; d = 25,
also N definitiv:
x + 2 y = 25; die Ebene steht, wie es sein muss, auf der (x,y)-Ebene
senkrecht.
Der Schnitt von g mit N gibt den gesuchten Mittelpunkt,
wir nennen ihn MM.
Gleichung von g: x = t , y = 2 t , z = 0.
Schnittpunkt mit N durch Einsetzen : t wird 5, und daher gilt
MM( 5 / 10 / 0 )
Gleichung dieser besondern Kugel mmk:
(x – 5) ^ 2 + (y – 10) ^ 2 + z ^ 2 = 81.
Nun legen wir die Gerade m durch MM und Q und schneiden
sie mit dieser in den Punkten Z und Z*.
Richtungsvektor w von m : w = {8;-4;-8} = 4*{2;-1;-2}
Parameterdarstellung von m mit Parameter s:
x = 5 + 2 s, y = 10 – s , z = - 2 s
Die setzen wir ein in die Gleichung der Kugel mmk:; es kommt:
4 s ^2 + s^2 + 4 s ^2 = 81; s^2 = 9
Also s = + 3 und s = - 3
Wir erhalten zwei Schnittpunkte von m und mmk, Z und Z* :
Z(11/7/-6) , Z*( -1 /16 / 6)
Der zweite Punkt Z* erfüllt die Bedingung;
er liegt näher bei Q als Z.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2556
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 10:31: |
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Hi anabel,
Lösung der Teilaufgabe d)
Kontrolle:
Die Punkte A und B liegen tatsächlich auf der Kugel K0,
Mittelpunkt im Nullpunkt O, Radius 9,
denn die Koordinaten der Punkte erfüllen
die Kugelgleichung x^2 + y^2 + z^2 = 81 ,
wie Du leicht nachrechnest.
Wir bestimmen die Tangente t an den Großkreisbogen AB in B.
Diese Tangente ist die Schnittgerade zweier Ebenen F1 und F2.
F1 ist die Tangentialebene der Kugel im Punkt B,
F2 ist die Ebene OAB des Großkreises.
Wir wählen von jeder Ebene einen Normalenvektor n1 bzw. n2.
Das Vektorprodukt dieser Vektoren ergibt einen Richtungsvektor r
der Tangente t.
Bestimmung eines Normelenvektors n1 von F1.
Da die Tangentialebene in B auf dem Berührungsradius OB
senkrecht steht, kann als Normalenvektor der Verbindungs-
vektor der Punkte O und B gewählt werden:
n1 = OB = {4;-4;7}.
Bestimmung eines Normelenvektors n2 von F2.
Als Normalenvektor n2 der Ebene F2 kann das Vektorprodukt
der Vektoren OA = {8;4;-1} und OB ={4;-4;7} herangezogen
werden.
Wir erhalten nach kurzer Rechnung:
n2 = {24;-60;-48} = 12{2;-5;-4}; wir nehmen den verkürzten
Vektor:
n2 = {2;-5;-4}
Ein Richtungsvektor r der gesuchten Tangente t ergibt sich
als Vektorprodukt der soeben bestimmten Vektoren
n1 und n2:
r = n1 x n2 = {51;30;-12}= 3 {17;10; -4}
Es ist nun nicht mehr schwierig, eine Parameterdarstellung
von t zu gewinnen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2557
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 10:38: |
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Hi anabel,
Nachtrag zu Teilaufgabe b) :
Der gesuchte Mindestabstand ist
d min= Abstand ( QZ*) = wurzel(2^2+2^2+2^2)=
2*wurzel (3).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2558
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 11:31: |
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Hi anabel,
Es folgt die Lösung zu einer weitern Teilaufgabe; diese lautet:
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Parameterwerten
a1 und a2, wenn sich die zugehörigen Kugeln Ka1 und Ka2
in einem Kreis mit dem Radius r = 6 schneiden?
Lösung
Fertige eine Zeichnung in der (x,y)-Ebene an.
Zwei gleich große Kreise ,Radius R = 9, schneiden sich
so, dass die Schnittsehne die Länge 6 hat.
Diese gemeinsame Sehne beider Kreise ist gerade
die Normalprojektion des Schnittkreises der beiden Kugeln
Ka1 und Ka2 auf die (x,y)-Ebene.
U sei der senkrechte Abstand dieser Sehne von einem der beiden
Kreis-Mittelpunkte.
Nach Pythagoras gilt dann:
u = wurzel (81 – 9) = 6 wurzel (2).
Der Abstand v der Kreismittelpunkte und damit auch der
Kugelmittelpunkte ist
v= 2u = 12 wurzel(2)
Andrerseits kann dieser Abstand auch durch die Koordinaten
der Kugelmittelpunkte ausgedrückt werden.
Wir schreiben das Quadrat dieses Abstandes an:
v^2 = (M1 M2)^2 = (a2 - a1)^2 + (2 a2 – 2 a1)^2 =
5 a1^2 + 5 a2^2 – 10 a1 a2
Dies setzen wir dem weiter oben berechneten Wert
v^2^2 = 288 gleich.
Mithin lautet die gesuchte Bedingung:
5 a1^2 + 5 a2^2 – 10 a1 a2 = 288
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 41
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| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 15:46: |
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Hab gar nicht den Überblick ob das alles war, aber .....Danke danke danke!! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath
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Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 17:48: |
|
Hi Anabel,
als Schlussbouquet kommt die Teilaufgabe c) dran:
Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung
g: x= (8/-5/-3) + t(1/5/12)
sowie der Punkt P(10/-3/-4).
Gib eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene
durch g an, die den größtmöglichen Abstand
vom Punkt P hat.
Voilà.
Lösung
Die gesuchte Ebene Y durch g, die den maximalen Abstand
von P haben soll, ist die Tangentialebene an die Kugel K*
mit Mittelpunkt P und Radius rho, wobei rho
der Abstand des Punktes P von g ist.
F, der Fußpunkt dieses Abstandes, ist der Berührungspunkt
von Y (hihi) auf der genannten Kugel K*, da schau her!
In einer separaten Rechnung am Schluss dieses Exposés
zeige ich Dir, wie man rho und F rechnet.
Resultat: rho = 3, F(8/-5/-3).
Gleichung der Kugel K*:
(x-10)^2+(y+3)^2+(z+4)^2 = 9
Gleichung der Tangentialebene mit Berührungspunkt
P1(x1/y1/z1):
(x1-10) (x-10)+(y1+3) (y+3)+(z1+4) (z+4) = 9
also:
-2(x-10)- 2(y+3)-(z+4) = 0
Die gesuchte Ebene Y hat die Gleichung:
2x + 2y – z = 9
°°°°°°°°°°°°°°°
Für die Berechnung des Abstandes d eines Punktes P von
einer Geraden g gibt es eine fix-fertige Formel, in der der
Absolutbetrag eines Vektorproduktes eine Rolle spielt.
Nach ihr bekommt man:
d = wurzel (1530) / wurzel (170) = wurzel (153/17) =
wurzel (9) = 3
Besser so:
Wir legen durch P die Normaleben zu g:
Gleichung x + 5y + 12 z = - 53.
Dann schneiden wir sie mit g;
Resultat: F(8/-5/-3).
Das ist von mir aus alles.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Anabel (anabel)
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Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 19:57: |
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Das ist echt supernett von dir!
Hab mich jetzt auch schon durch deine Rechnungen gearbeitet...
hätte da noch ne kleine Frage zu a)
und zwar geht es ja da um den Wert von a für den die Kugel mehr als einen Punkt mit der x z Achse gemeinsam hat.
Ich hab das auch so weit verstanden, aber bei deiner Rechnug untersuchst du doch den Schnittkreisradius und wie kann man von dem darauf schließen, dass es nun mehr als einen Punkt gibt??
Ich hoffe die Frage ist verständlich und du kannst mir weiterhelfen
grüße, ana |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2562
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 22:02: |
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Hi Anabel,
Mit Punkten der Kugel sind in diesem Zusammenhang die Punkte
der Kugelfläche gemeint.
Eine Ebene Y habe von der Kugel k, Radius r, Mittelpunkt M,
den Abstand m.
Dann sind drei Fälle zu unterscheiden:
1.Fall
m > r
Y und k haben keine Punkte gemeinsam.
2.Fall
m = r
Y und k haben genau einen Punkt gemeinsam; Y ist eine
Tangentialebene der Kugel; der gemeinsame einzelne
Punkt ist der Berührungspunkt.
3.Fall
0 < = m < r
Y und k haben unendlich viele Punkte gemeinsam.
Sie liegen auf dem Schnittkreis Ebene –Kugel .
Der Radius des Schnittkreises ist wurzel (r^2 - m^2).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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