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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2552
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 10:11: | 
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Hi allerseits
Dreiecksaufgabe 43:
Im rechtwinkligen Dreieck OAB mit O(0/0), A(u>0 / 0)
B(0 / v>0) ist die Hypotenuse AB = a gegeben.
k1 ist der Inkreis des Dreiecks, Radius r , k2 der Ankreis,
der AB berührt, Radius R.
Drücke die Katheten u und v durch a und den
Quotienten m = R / r aus.
Es genügt, eine quadratische Gleichung in z
z ^ 2 + p z + q = 0 anzugeben, welche die Lösungen
u und v hat.
Welches ist der kleinstmögliche Wert für m ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 867
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 07:40: |
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Hi megamath,
ich habe mich einwenig an der Aufgabe versucht. Doch nun hänge ich fest.
Ich habe zuerst mal m berechnet, ich erhalte:
m = [ u + v + a ] / [ u + v - a ]
Hilft mir dies? Denn hier hänge ich nun!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 868
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 09:31: |
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Hi nochmal,
also ein wenig weiter hat es mich gebracht:
es gilt ja für die quadratische Gleichung:
-p = u + v
Das heißt mit meinem ersten Ergebniss heute:
-p = a * [ (m + 1) / (m - 1) ]
Jetzt muss ich nur noch u*v durch a und m ausdrücken. Befinde ichmich nun auf dem richtigen Weg?
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 869
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 10:33: |
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Hi,
leider ist es mir nicht gelungen, die Aufgabe komplett zu lösen, daher hoffe ich jemand anders knackt sie, da ich jetzt leider wieder los muss! Bis nächstes Wochenende. Nebel ahoi !
mfg |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 224
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 10:51: |
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Hi Megamath,hi Ferdi,
Ich knoble auch schon seit einiger Zeit an der Aufgabe.Leider bisher ohne wirklichen Erfolg.
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2559
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 13:00: |
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Hi,
Der Zweck der Uebung meinerseits war diesmal,
eine etwas anspruchsvollere Aufgabe zu servieren;
offenbar ist mir das gelungen.
Die Aufgabe ist allerdings beinahe geknackt,da Ferdi ein richtges Zwischenresultat gefunden hat.
Heute Abend bringe ich die Lösung.
Ich habe bis dann Dienst in Haus und Hof und noch anderweitige Verpflichtungen in Form von Besuche machen.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 225
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 18:00: |
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Hi Megamath,
ich habe Dir eine Mail geschickt,würde mich über eine Reaktion sehr freuen.
Mit freundlichen Grüßen,
Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2561
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 20:13: |
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Hi Ferdi,
Hi Olaf
Hier die versprochene Lösung der
Dreiecksaufgabe 43.
Bezeichnungen:
M : Mittelpunkt des Inreises, der die Seite OA in F
berührt.
N: Mittelpunkt des Ankreises, der die (verlängerte)
Seite OA in G berührt.
s: halber Umfang des Dreiecks: s = ½ (a + u + v).
Beachte
Es gilt:
OF = s – a
OG = s
Die Dreiecke OFM und OGN sind ähnlich, daher gilt:
m = R/r = OG / OF = s / (s-a)
Also
m = (u + v + a ) / (u + v – a) , mithin
u + v = a (m+1) / (m-1) , ein bekanntes Zwischenresultat.
Der Clou kommt:
Wir quadrieren diese Beziehung (HIHI); es kommt:
(u + v)^2 = a^2 (m+1)^2 / (m-1)^2
u^2 + v^2 + 2 u v = a^2 (m+1)^2 / (m-1)^2
Wir bemühen Pythagoras und schreiben
a^2 + 2 u v = a^2 (m+1) ^ 2 / (m-1)^2, daraus:
u v = 2 a^2 m / (m – 1 ) ^2
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Das ist das fehlende Glied in der Kette!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 226
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 20:24: |
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Hi Megamath,
Danke!
Wenigstens hatte ich den richtigen Gedanken (Ähnlichkeit der Dreiecke).An der mathematischen Umsetzung scheiterte es dann irgendwie.
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2563
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. September, 2003 - 07:50: |
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Hi allerseits,
Bei der Lösung zur Dreiecksaufgabe 43 fehlt
noch die Determination:
Für welche Werte von m sind Lösungen
vorhanden.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser, megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 227
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. September, 2003 - 16:05: |
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Hi Megamath,
Ich habe zwar schon mit Determinanten gerechnet,eine fertige Formel einer Determination
unterzogen,das habe ich noch nie gemacht (jedenfalls nicht,wenn sie etwas komplizierter waren).Meinst Du eine 2x2-Determinante oder eine 3x3-Derminante?
Weitere Frage:
Sollte sich das nur auf die rechte Seite beziehen,oder auf den gesamten Ausdruck?
Also
u*v=det(A) mit
det(A)=2a^2*m/(m-1)^2
oder halt
det(A)=2a^2*m/(m-1)^2-u*v=0 ?
Ich wäre Dir sehr dankbar,wenn Du mir das einmal vorrechnen könntest.Ich denke ja nicht,daß
Du dies damit meinst:
det(A)=
|2a^2..........u|
|v....m/(m-1)^2)|
=2a^2*m/(m-1)^2-u*v=0
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2565
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. September, 2003 - 17:49: |
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Hi allerseits,
Nachtrag zur Lösung der Dreiecksaufgabe 43.
Wir berechnen die Diskriminanten D = p^2- 4 q
der quadratischen Gleichung
z ^ 2 + p z + q = 0 , p = - a (m+1) / (m-1)
q = 2 a^2 m / (m – 1 ) ^ 2
Wir erhalten:
D = a^2 / (m-1)^2 * [ m^2 – 6m + 1 ]
D > = 0 impliziert wegen m > 1
m > = 3 + 2 * wurzel(2)
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@ Olaf
Es hat sich ein Missverständnis ergeben:
mit Determination meinte ich nicht Determinanten,
sondern die nähere Untersuchung der Aufgabe
auf Lösbarkeitsbedingungen; Determination dem
Wortsinn nach: Begrenzung, Abgrenzung.
Es war nicht meine Absicht, Verwirrung zu stiften.
Das Ganze ist aber nicht halb so schlimm, und alles ist
wieder ok.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 230
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. September, 2003 - 17:57: |
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Hi Megamath,
Achso!
Gruß,Olaf |
