| Autor |
Beitrag |
    
Jan-Hendrik (kilkenny)
Neues Mitglied
Benutzername: kilkenny
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 18:31: | 
|
Hey ihr ich brauche eure Hilfe bei einer Aufgabe
f(x)=(x²+4x-21)/(x²-4) ; x c Dmax R\[+2;-2]
Könntet ihr mir bitte dabei helfen diese Funktion auf Asymptoten zu untersuchen, bin an einer Stelle hängen geblieben und komme jetzt nicht mehr weiter. Schon ma danke im voraus. |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1387
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 18:49: |
|
(x²+4x-21) : (x²-4) = 1
-x²-0x+4
--------
4x-17 Rest
(x²+4x-21)/(x²-4)= 1 + (4x-17)/(x²-4)
(x²+4x-21)/(x²-4)= 1 + (4/x-17/x²)/(1-4/x²)
man
sieht für | x | -> oo wir das zu 1
da
der Zähler des Bruchs 0 wird
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
Jan-Hendrik (kilkenny)
Neues Mitglied
Benutzername: kilkenny
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 19:07: |
|
Danke für die Hilfe, aber es gibt da das Problem hab das wahrscheinlich falsch geschrieben. Ich meinte Polstellen(+Eigenschaft):
f(2+h)=((2+h)²+4(2+h)-21)/((2+h)²-4)
f(2+h)=(h²+8h-9)/(h²+4h)
so und jetzt ist es für mich vorbei. Jetzt sollten wir das noch weiter vereinfachen...
und grenzwert für h->0 ausrechnen.
Ich weiß zwar das die Funktion am Ende gegen oo läuft aber ich habe keine Ahnung wie ich das nun alles noch weiter vereinfachen soll... nochmal danke |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1388
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 19:32: |
|
(h²+8h-9) : (h²+4h)=1
-h²-4h
------
Rest 4h-9
(h²+8h-9)/(h²+4h)
=
1+ (4h-9)/(h²+4h) = 1 + 4/(h+4) - 9/(h²+4h)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 652
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 22:32: |
|
Friedrich geht leider am Kern der Sache vorbei. Die Polynomdivision ist hier außerdem obsolet.
Man muß sich einmal vergegenwärtigen, weshalb die Variable h überhaupt eingeführt wird, man könnte ja sonst gleich x -> 2 gehen lassen.
Die Funktionsgleichung lautet faktorisiert:
f(x) = (x+7)*(x-3)/[(x+2)*(x-2)]
Zunächst kommt es darauf an, zu untersuchen, ob sich irgendwelche Faktoren herauskürzen; diese ergäben dann KEINE Polstellen, sondern hebbare Lücken! Wir sehen, dass dies hier nicht der Fall ist.
Polstellen bzw. Unstetigkeitsstellen sind die Nullstellen des Nenners, also +2 oder -2. Um zum ersten das Grenzwertverhalten für x -> 2 zu ermitteln, führt man einen positiven Parameter h ein. Je nachdem, ob man sich von rechts oder von links dieser Stelle 2 nähert, wird der Grenzwert einmal für x = 2+h, das andere Mal für x = 2-h, für h -> 0 bestimmt. Man spricht daher von einem rechts- oder linksseitigem Grenzwert, auch wenn dieser gegen +oo oder -oo geht (er heisst dann uneigentlicher Grenzwert). Damit kann ermittelt werden, ob sich die Kurve der Polstelle im Positiven (nach oben, +oo) oder im Negativen (nach unten, -oo) nähert.
Somit ergibt sich für x = 2+h der von Jan bereits angeschriebene Ausdruck für den Limes von rechts:
f(2+h)=(h²+8h-9)/(h²+4h)
faktorisieren::
f(2+h) = (h+9)*(h-1)/[h(h+4)]
Hier liefert die Grenzwertbestimmung:
lim[x -> 2+0] .. Symbol für den rechtsseitigen Limes
lim[x -> 2+0] = lim[h -> 0]f(2+h) =
= lim[h -> 0](h+9)*(h-1)/[h(h+4)] =
= (+9)*(-1)/[0(4)] = -oo
und ebenso
f(2-h) = -(9-h)(1+h)/[-h(4-h)]
lim[x -> 2-0] .. Symbol für den linksseitigen Limes
lim[x -> 2-0] = lim[h -> 0]f(2-h) =
= lim[h -> 0](9-h)(1+h)/[h(4-h)] =
= (+9)*(+1)/[0(4)] = +oo
Wir erkennen: Die Kurve macht an der Stelle x=2 einen Sprung von + oo nach - oo (unendlich), wenn man auf der x-Achse von links nach rechts geht.
Analog geht man bei der Stelle x = -2 vor.
Gr
mYthos
|
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1389
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 08:39: |
|
Hast recht, mYthos, ich bin dabei etwas "geschwommen", und an die Zählerfaktorisierung hatte ich nicht gedacht.
Warum die Darstellung mit h aber überhaupt notwendig sein sollte ist mir unklar.
Der Zähler ist für |x|=2 negativ,
x²-4 geht
für
x=-2 von + nach - durch 0, f(x) springt also von -oo nach +oo,
für
x=+2 ist es umgekehrt.
(
dasselbe sieht man für h->0 auch in 1 + 4/(h+4) - 9/(h²+4h)
)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
|
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 653
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 09:22: |
|
Im Prinzip stimmt das, Friedrich! Wenn ich mir einen schnellen Überblick über das Sprungverhalten der Funktion verschaffen will, gehe ich auch so vor. Um bei den Vorzeichen z.B. vor und nach der Stelle 2 sicher zu gehen, setze ich lieber noch 1,9 bzw. 2,1 ein und mache damit eine approximative Abschätzung!
Die Darstellung mit h hat den Sinn, dass der links- bzw. rechtsseitige Limes mathematisch exakt ausgedrückt und berechnet werden kann (er muss ja nicht immer uneigentlich sein)! Sind diese Grenzwerte nämlich endlich und von links und rechts gleich, so ist dies ein Zeichen dafür, dass keine Polstelle, sondern eine (hebbare) Lücke vorliegt. Behoben wird diese, indem man dieser Stelle einen Funktionswert gleich dem errechneten Grenzwert zuordnet.
Gr
mYthos
|
Jan-Hendrik (kilkenny)
Neues Mitglied
Benutzername: kilkenny
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 09-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 17:55: |
|
Besten Dank an Mythos. Hast mir echt dabei geholfen. Hab das jetzt auch verstanden, glaube ich. |
|
