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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2549
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 17:30: | 
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Hi allerseits,
die neue Dreiecksaufgabe 42 lautet so:
Die Gleichung zweiten Grades in x , y:
3 x ^ 2 + 8 x y – 3 y ^2 = 0 stellt ein Geradenpaar dar
Die zugehörigen Geraden g1, g2 gehen durch den
Nullpunkt O
Ein dritte Gerade g3 hat die Gleichung - 4 x + 3y = 12.
und schneidet g1 in A, g2 in B.
a)
Weise nach, dass das Dreieck OAB rechtwinklig ist.
b)
Zeige: eine Schwerlinie (Mediane) des Dreiecks OAB
liegt auf der y-Achse.
Löse die Aufgabe für den allgemeinen Fall:
Geradenpaar : g1, g2: a x^2 + 2 h x y – a y^2 = 0
Gerade g3 : p x + q y = r.
a und r sind beide von null verschieden.
Welche Relation muss zwischen den Koeffizienten
a, h ,p, q, r bestehen, damit eine Schwerlinie (Mediane)
des Dreiecks OAB auf der y-Achse liegt.
Viel Erfolg bei der Lösung dieser etwas anspruchsvollen
Aufgabe!*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 865
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 22:38: |
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Hi,
erst mal numerisch, mal sehen ob ich zum allgemeinen Fall komme!
Die Geraden lauten aus der Form "ausgelesen":
y = 3x und y = -(1/3)x
Die Dreieckpunkte lauten also:
O ( 0 | 0 ) , A ( 12/5 | 36/5 ) , B ( -12/5 | 4/5 ).
Die Seiten haben also folgende längen:
a = 12*sqrt(2/5) , b = 4*sqrt(2/5) , c=8.
Wie man leicht sieht, gilt:
a^2 + b^2 = c^2 was wie man weiß nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt!
Die Schwerelinie sb geht durch O und durch den Mittelpunkt M der Strecke AB [(a+b)/2], d.h. M ( 0 | 4 ), d.h. die Schwerelinie hat die Gleichung x = 0 , was die y-Achse beschreibt! q.e.d.
Bitte mit dem allgemeinen Fall warten, ich will mich dran versuchen, bis Sonntag, dann ist sowieso zu spät, dann muss ich wieder ab ins Gelände für eine Woche, also eine kleine Galgenfrist bitte !
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 866
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 05:53: |
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Hi,
Kurz vor Dienstbeginn mein Vorschlag zu b)
Damit eine Schwerelinie auf der y-Achse liegt muss gelten:
hq + ap = 0
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2550
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. September, 2003 - 09:08: |
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Hi Ferdi,
Deine Ergebnisse sind alle richtig,insbesondere auch das Letzte,bravo!*
Sage Deinem Schulkommandanten einen schönen Gruss von mir,und er soll Dich wegen besonderer Dienstleistungen im Fach Mathematik für
mindestens 24 Stunden von allen militärischen Dienstleistungen dispensieren.
MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2564
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. September, 2003 - 10:13: |
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Hi allerseits,
es folgt eine Kurzlösung der Dreiecksaufgabe 42 ,Teilaufgabe b).
Wir berechnen die Steigungen m1, m2 der beiden Ursprungsgeraden
g1,g2, indem wir die gegebene Gleichung zweiten Grades in x,y
durch x^2 dividieren und dabei y/x durch m ersetzen.
Resultat:
Es entsteht die quadratische Gleichung für m
a m ^ 2 – 2 h m – a = 0
Lösungen:
m1 = [h + wurzel (h^2+a^2)] / a
m2 = [h - wurzel (h^2+a^2)] / a
Nach Vieta gilt m1*m2 = -1, damit ist die Orthogonalität
nachgewiesen.
Die Geraden g1 , g2 sind mit g3 : y = - p/q * x + r /q zu schneiden
Wir eliminieren y und erhalten eine
quadratische Gleichung für x:
x ^ 2 + k1 x + k2 = 0
Damit die Schwerlinie durch O ganz auf der y-Achse liegt,
müssen die x-Werte der Schnittpunkte A und B entgegengesetzt
gleich sein, d.h.
der Koeffizient k1 in der quadratischen Gleichung muss null sein.
Man rechne nach:
Die gesuchte Bedingung lautet:
a p + h q = 0
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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