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Andrea (krümmel)
Neues Mitglied
Benutzername: krümmel
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 08:40: | 
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Hallo
Ich hoffe auch diesmal kann mir einer von Euch weiterhelfen, Eure letzten Tipps haben mir sehr geholfen. Hier meine Fragen?
1.Füllen Sie die nebenstehende Verknüpfungstafel so aus, dass in <{c1,c2},*> zwar die Gleichung x*a=b für alle a,b E {c1,c2} lösbar ist, nicht aber a*y=b in jedem Falle.
2.)Begründen Sie mit Worten allgemein, warum man aus c*a=b*c nicht in jeder Gruppe die Schlußfolgerung a=b ziehen darf.
3.) Beweisen Sie den Satz:
In jeder Gruppe <G,*> gilt:
i (a*b)= i(b)* i(a) für je zwei Elemente a,b aus G. (i steht für inverses)
Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Gruß Andrea |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1382
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. September, 2003 - 09:14: |
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es darf also keine kommutative Gruppe
sein
z.B.; c1*c2 = c1, c2*c1 = c2
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Andrea (krümmel)
Neues Mitglied
Benutzername: krümmel
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 09:50: |
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Viele Dank für Deine Hilfe, Du hast mir sehr weitergeholfen!
Hättest Du vielleicht auch ein paar Tipps für Aufgabe 2 und 3?? |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1394
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 10:19: |
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2)ist prakt 1) in anderen Worten:
die Schlussfolgerung ist für nicht kommutative
Gruppen falsch.
3)
(a*b)-1=a-1*b-1
(a*b)-1*a = a-1*a*b-1=1*b-1
(a*b)-1*(a*b)=b-1*b = 1
und
für x = a*b
gilt natürlich auch x-1*x = 1
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Zaph (zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: zaph
Nummer des Beitrags: 1445
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. September, 2003 - 11:50: |
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Hallo krümmel,
zu 1) Vor allem darf es keine Gruppe sein! Damit x*a = b immer lösbar ist, muss in jeder Spalte jedes Element vorkommen. Damit a*x = b NICHT immer lösbar ist, muss es eine Zeile geben, die nicht alle Elemente enthält.
zu 2) Dies hat erst mal nix mit 1) zu tun. Aber: Wenn in einer Gruppe aus c*a = b*c IMMER folgt, dass a = b, dann ist die Gruppe in der Tat kommutativ. Um das zu sehen, wähle beliebige b,c aus G. Zeige b*c = c*b. Setze d := b*c. Da es sich um eine Gruppe handelt, ist die Gleichung c*x = d lösbar. Es gibt also ein a mit c*a = d. Dann gilt c*a = d = b*c. Nach Voraussetzung ist a = b. Somit c*b = c*a = d = b*c.
zu 3) Setze c := i(b) * i(a).
Zu zeigen: (a * b ) * c = 1.
Es gilt ja a * i(a) = b * i(b) = 1.
Also
(a * b) * c
= (a * b) * (i(b) * i(a))
= a * (b*i(b)) * i(a)
= a * 1 * i(a)
= a * i(a)
= 1
Hier wirtd die ASSOZIATIVITÄT der Gruppenoperation ausgenutzt. |
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