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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2535
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 20:35: | 
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Hi allerseits,
In der Dreiecksaufgabe 39 wird ein Dreieck ABC
gegeben durch den Flächeninhalt F, den Umfang u und
die Seite a.
Die übrigen Seiten b und c befriedigen eine gewisse
quadratische Gleichung
z ^ 2 + p z + q = 0
a)
Berechne p und q für das numerische Beispiel
F = 84, u = 42, a = 15.
b)
Ermittle p und q für den allgemeinen Fall.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1378
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 21:04: |
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die 4te Angabe ist doch überflüssig.
(F,a) => ha,
die
Punkte BC der Seite a sind die Brennpunkte
einer Ellipse mit (u-a)/2 langer großer Halbachse g,
und
die 4 Schnittpunkte dieser Ellipse mit Parallelen zu g im Abstand ha von g sind die möglichen
Lösungen für den Ort des 3eckspunktes A.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2537
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 22:38: |
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Hi Friedrich,
Da hat sich ein Missverständnis eingeschlichen !
Natürlich gebe ich zur Bestimmung eines Dreiecks nicht vier unabhänige Daten ,hihi.
Da habe ich zu viel Erfahrung,diesen Lapsus zu begehen.
Ich habe nur darum gebeten
das Ergebnis in die letzte Form einzukleiden,
nur ein bisschen !*
Ich habe aber nichts dagegen,wenn Du die einzelnen numerichen Werte der Seiten b, c
mitteilst.
Vielen Dank im Voraus !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 215
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 17:52: |
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Hi megamath,
Zu a)
Da es sich um ein besonderes Dreieck handelt,kannte ich die Lösung für b und c:
b=13;c=14
=>
p=-27;q=182
=>
z2-27z+182=0
Man erhält natürlich wieder
z1=13;z2=14
Zu b)
b2+pb+q=0
c2+pc+q=0
=>
p=-(b+c)
q=b*c
(Vietascher Wurzelsatz)
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 04., September. 2003 von heavyweight editiert) |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 861
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:13: |
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Hi,
die Frage stellt sich mir, der schon etwas länger an der Aufgabe rechnet, wie man auf b und c kommt, ohne das Dreieck vorher zu kennen!
Meine Überlegungen stocken schon ziemlich früh:
Der Umfang beträgt 42. ==> a+b+c=42 ==> b+c=27 = -p nach Vieta.
Doch nun hänge ich, wie komme ich nun weiter, rechnerisch...
mfg |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 216
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:20: |
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Hi Ferdi,
Ich versuche mich auch grad an einer Lösung.
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2539
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:29: |
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Hi Ferdi,
Die Sache mit Vieta ist ein Gag uind lenkt
vom Wesentlichen ab,sorry.
Setze diesen Satz ja nicht am Anfang ein,sondern am Schluss,wie es Olaf gemacht hat.
Die Hauptrechnung wickelt sich über eine Ellipsengleichung ab,
wie es Friedrich gestern empfohlen hat.
Soll ich die Berechnungen jetzt vorführen oder damit
noch zuwarten ?
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 217
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:44: |
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Hi,
Die Formel von Heron muß erfüllt sein:
1) 16*F2=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)
U=a+b+c
42=15+b+c
=>
2) b=27-c
3) a=15
2) und 3) in 1):
=>
c1=14;c2=13
Gruß,Olaf |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 862
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 18:50: |
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Hm,
das scheint zu gehen Olaf!
Mich würde aber auch interessieren, wie man eine Ellipse in eine Dreiecksaufgabe integrieren kann, das ist mir völlig neu.
Leider muss ich jetzt wieder los. Morgen ist Praktische und theoretische Sanitätsprüfung und am Samstag ist "Tag der offenen Tür" (falls ihr mich besuchen wollt, in der General Weber Kaserne ), bin also erst Sonntag wieder da! Würde mich trotzdem über eine Antwort freuen!
mfg |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 218
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 19:11: |
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P.S:
Eigentlich poste ich keine halben Rechnungen.megamath wollte die numerischen Werte für
b und c aber schon bekannt geben/geben lassen.
mfg
Olaf |
Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 219
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 19:45: |
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Hi megamath,
Ich bin nun etwas verwirrt.
Was hat die quadratische Gleichung nun für eine Funktion?
Hat sie eine allgemeine Gültigkeit,oder war sie ein Spaß?
Gruß,Olaf
(Beitrag nachträglich am 04., September. 2003 von heavyweight editiert) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2540
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 20:27: |
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Hi Ferdi,Hi olaf
Es freut mich, dass diese Aufgabe bei Euch Anklang findet.
Zuerst ein Paar Worte zur quadratischen
Gleichung,die wie ein deus ex machina erscheint. Mit den Lösungen b, c bilde ich die Summe
b+ c = 27 und das Prrodukt b c = 182.
Damit sielle ich nach Vieta die quadratische Gleichung in z dar:
z^2 - 27 z + 182 = 0, die nun gerade die Lösungen 14 und 13 hat,oder eben 13 und 14 ,wie es
Euch gefällt..
Das ist alles.
Es würde mich interessieren,ob es ausser der angedeuteten narrensichern Lösung mit
der Ellipse noch andere Methoden gibt.
Ich bin gspannt,ob Heron funktioniert
Soll ich meine Ellipsenlösung jetzt bringen ?
MfG
H.R.Moser,megamath.
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 220
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 20:38: |
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Hi megamath,
Bisher fand jede Deiner Aufgaben bei mir Anklang.Leider machen einem andere Verpflichtungen
oft im wahrsten Sinne des Wortes "einen Strich durch die Rechnung".
Ich weiß nicht,ob ich allgemein mit Heron ans Ziel komme.Werde es aber spätestens morgen
abend wissen...
Ich bin gespannt auf Deine Lösung!
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2542
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 20:43: |
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Hi allerseits,
Die Dreiecksaufgabe 39 soll nun im Détail
gelöst werden;das geht so:
Die Summe der Seiten b und c ist u – a = 27
Wir legen die Seite a = BC auf die x.Achse eines
rechtwinkligen (x,y) Koordinatensystems und zwar so
dass O zum Mittelpunkt der Strecke BC wird.
Die Koordinaten dieser Eckpunkte sind:
B(-7,5/0) C(7,5/0).
Die Ecke A liegt auf eine Ellipse, deren Brennpunkte
mit B und C je identisch sind; ihre lineare Exzentrizität
ist e = 7,5, die große Halbachse m = ½ (b+c) = 13,5.
Aus e und m berechnen wir die kleine Halbachse n:
n^2 = m^2 – e^2 = 126,also
n = 3 * sqrt(14).
Gleichung dieser Ellipse:
n^2 x^2 + m^2 y^2 = m^2 n^2, also:
126 x^2 + 182,25 y^2 = 22963,5 oder
56 x^2 + 81 y^2 = 10206.
Wir kennen die Höhe ha des Dreiecks:
ha = 2F / a = 168/15 = 11,2.
Wir schneiden daher die Ellipse mit der zur x-Achse
parallelen Geraden
y = ha = 11,2
Ein Schnittpunkt A genügt vollauf!
Auflösung nach x^2:
x^2 = (10 206 - 81 y^2) / 56 =
(10 206 – 81 * 11,2^2) / 56 = 0,81, somit (Wahl x<0)
x = - 0,9 (exakt)
F sei der Fußpunkt der Höhe ha auf der Seite BC,
dann gilt F(- 0,9/0).
Daraus BF = f = 7,5 - 0,9 = 6,6 und
c^2 = f^2 + ha^2 = 169,
also c = 13, b = 14
°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Setzen wir p = b + c = 27
q = b * c = 182, so sind nach Vieta b und c Lösungen
der quadratischen Gleichung in z:
z^2 – 27 z + 182 = 0.
b) die Berechnungen für den allgemeinen Fall lassen
wir weg.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Mose,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 221
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 21:04: |
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Hi megamath,
Auch mir war diese Lösungsmöglichkeit unbekannt.Also wieder was dazugelernt!
Gruß,Olaf |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2544
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 22:13: |
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Hi Olaf,
Heureka, Deine Methode führt zum Ziel, Du darfst nur den
Überblick nicht verlieren!*
Wir gehen von der Heronschen Formel aus:
16*F2=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) und setzen ein,
was darin bekannt ist.
Die schöne Unbekannte (oh) darin ist bloß
Y = b – c
Die Formel gibt:
16 * 84^2 = 42 (15 + Y ) 15 – Y)(-15 + 27),
16 * 84^2 = 42 (225 - Y^2) *12, vereinfacht
225 - Y^2 = 224; Y zeigt sich in der ganzen Größe:
Y = 1,
also b - c = 1, mit b + c = 27
liegt dann ALLES offen da, hihi
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Olaf (heavyweight)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: heavyweight
Nummer des Beitrags: 222
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. September, 2003 - 22:37: |
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Hi megamath
Da ich mich sehr kurz gefaßt habe,hier auch nochmal meine Lösung (wenn auch nicht elegant) im Detail:
Formel von Heron:
F2=s(s-a)(s-b)(s-c)
mit s=(a+b+c)/2
F2=(a+b+c)/2*[(a+b+c)/2-a][(a+b+c)/2-b][(a+b+c)/2-c]
F2=(a+b+c)/2*[(a+b+c)/2-2a/a][(a+b+c)/2-2b/2][(a+b+c )/2-2c/c]
F2=(a+b+c)/2*(-a+b+c)/2*(a-b+c)/2*(a+b-c)/2
F2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/16
16F2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
U=a+b+c;a=15;U=42
=>
b=27-c
16F2=(a+(27-c)+c)(-a+(27-c)+c)(a-(27-c)+c)(a+(27-c)-c)
16F2=(a+27)(27-a)(a-27+2c)(a+27-2c)
mit F=84 und a=15:
16*842=(15+27)(27-15)(15-27+2c)(15+27-2c)
112896=42*12*(-12+2c)(42-2c)
112896=42*12*(-4)(c-6)(c-21)
-56=(c-6)(c-21)
-56=c^2-27c+126
c2-27c+182=0
=> p=-27;q=182
=> c1=13;c2=14
Gruß,Olaf
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