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Sylvana (sunsyle)
Junior Mitglied
Benutzername: sunsyle
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 13:33: | 
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meine ausgabe lautet welche ich zu lösen habe.
gegeben isz die funktion f mit f(x)= x mal wurzel x (zweite x unter der wurzel).
a)gib den gemeinsamen punkt des schaubildes von f mit der x-achse an u berechne die steigung i diesem punkt.
b)die tangente an das schaubild von f im punkt P bildet mit der x-achse einen winkel von 45 grad.berehne die koordinaten von P u den schnittpunkt dieser tangente mit der x-achse.
c) in welchem punkt Q stimmt die Tangentensteigung mit der steigung der sekante durch O und A (9/27) überein?
d)bestimme auf dem schaubild von f den punkt R(u/v) mit u<4,für den das dreieck mit den Ecken R1(u/0) , R2(4/0) und R maximalen Flächeninhalt hat.Gib den Flächeninhalt an.
So das war die aufgabe ich hab echt keine ahnung wo ich hier anfangen soll. bitte helft mir mit der lösung,dann kann ich es sicher nachvollziehen.
HDL Syle
Bitte beeilt euch wer helfen kann es ist lebenswictig u sehr dringend! |
mythos2002 (mythos2002)
Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 647
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 20:32: |
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Hallo,
die Funktion y = x*sqrt(x) kann man (zur einfacheren Behandlung) auch in Exponentialschreibweise schreiben:
y = x * x^(1/2) = x^(3/2)
Die Ableitung ist dann:
y' = (3/2)*x^(1/2)
So wird es dann nicht mehr allzu schwer.
a) Schnitt mit der x - Achse -> y = 0
x^(3/2) = 0 | quadr.
x³ = 0
x = 0, es ist also der Punkt O(0|0). Die Steigung dort (den x-Wert in die erste Ableitung einsetzen) ist ebenfalls 0:
k(0) = y'(0) = 0
b) im Punkt P(px|py) soll der Winkel der Tangente mit der positiven x - Achse gleich 45° sein, d.h. die Steigung muss dort 1 betragen, denn tan(45°) = 1!
y'(px) = 1
(3/2)*x^(1/2) = 1 | quadrieren
(9/4)*x = 1
x = 4/9, -> y = (4/9)*2/3) = 8/27
-> P(4/9 | 8/27)
Die Gleichung der Tangente in P wird nach der Punktrichtungsform der Geraden
m = (y - y1)/(x - x1) [m .. Steigung der Geraden]
berechnet:
y - y1 = m*(x - x1)
y - (8/27) = x - (4/9)
y = x - (4/27), mit x-Achse (y = 0) ergibt sich der Schnittpunkt wegen x - (4/27) = 0 als (4/27 | 0)
c)
Die Steigung der Sekante ist ms = 27/9 = 3, im gesuchten Punkt Q(qx|qy) muss die Steigung (1. Ableitung in qx) ebensogroß sein:
y'(qx) = 3
(3/2)*x^(1/2) = 3 | quadrieren
(9/4)*x = 9 |:9
(1/4)*x = 1
x = 4, in y = .. einsetzen -> Q(4|8)
d)
Das Dreieck R1R2R ist rechtwinkelig und hat allgemein die Fläche
A = (1/2)*(4 - u)*v
Die Nebenbedingung ist die, dass R auf der Kurve liegen muss, also
v = u*sqrt(u) bzw. (quadr.) v² = u³
Wir formen die Funktion für A etwas um (konst. Faktoren weglassen, quadrieren - dabei ändert sich das Extremum nicht):
A(u,v) = (4 - u)²*v², v² durch u³ ersetzen:
A(u) = (4 - u)²*u³
A'(u) = -2*(4 - u)*u³ + 3*(4 - u)²*u² = u²*(4 - u)*(-2u + 3)
Für den Extremwert die 1. Ableitung Null setzen, u <> 0 und u < 4, somit bleibt nur noch
-2u + 3 = 0
u = (3/2);
A_max = (1/2)*(5/2)*(3/2)*sqrt(3/2) = (15/16)*sqrt(6)
Mittels der 2. Ableitung prüft man, ob ein Maximum vorliegt (der Wert der 2. Ableitung bei (3/2) muss negativ sein):
A'' = ...
A'' = 8u³ - 33u² + 24u
A''(3/2) = 27 + 36 - 297/4 = -45/4 < 0 Max.
Gr
mYthos
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