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Vierecksaufgabe VA 28: Sehnenviereck ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Vierecksaufgabe VA 28: Sehnenviereck und zugeordnetes Tangentenviereck « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2523
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 12:42:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Das Thema „Sehnenviereck“ soll mit einet Schlussaufgabe
beendet werden, mit einer Aufgabe, die eine fulminante
Rechenarbeit erfordert.

Die Aufgabe bezieht sich auf den folgenden Satz:

Werden in den Ecken A, B, C. D eines gegebenen Sehnenvierecks
an den Umkreis k die Tangenten a, b, c, d
gelegt, welche ein zu k gehörendes Tangentenviereck
bestimmen, so schneiden sich die Diagonalen beider Vierecke
je im gleichen Punkt U.


Aufgabe A]

Weise diesen Sachverhalt rechnerisch mittels Analytischer
Geometrie nach.
Wahl des Kreises k: x^2 + y ^2 = 2 y
(Einheitskreis, der die x-Achse in O berührt)
Punkt A im Ursprung O; Punkte B(x1/y1) , C(x2/y2), D(x3/y3),
alle auf k.
Man berechne die Koordinaten des Punktes U,
ausgedrückt durch xi,yi ( i = 1,2,3 ).


Hinweis:
Benütze zur Erleichterung der Rechnung die Determinanten
D1= x1 y2 – x2 y1
D2= x2 y3 – x3 y2
D3= x3 y1 – x1 y3
Mache auch von der Methode der zyklischen Vertauschung
Gebrauch.

Aufgabe B]
Bearbeite das numerische Beispiel
A(0,6 / 0,2), B(0,8 / 1,6), C(-1 / 1)

MfG
H.R.Moser,megamath


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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 857
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 01. September, 2003 - 18:21:   Beitrag drucken

Hi,

hier wird wohl wieder an mehreren Fronten gekämpft, da kommt man gar nicht mit.

Leider habe ich diese Woche Sanitätsausblidung, daher habe ich mal schnell das numerische Beispiel berechnet!

k: M ( 0 | 1 ) r = 1

A ( 0,6 | 0,2 ) B ( 0,8 | 1,6 ) C ( -1 | 1 ) D ( 0 | 0 ).

Man sieht das alle Punkte auf dem Kreis liegen, sie bilden also ein Sehnenviereck!

Die Diagonalen sind die Geraden durch AC und BD, sie lauten:

AC: x + 2y = 1
BD: 2x - y = 0

Der Diagonalenschnittpunkt ist also U ( 0,2 | 0,4).

Nun kommen wir zum Tangentenviereck, wir benötigen hierzu die 4 Tangenten in den Punkten.

Zwei tangenetn können wir direkt ablesen:
in C ( -1 | 1 ) T: x = -1
in D ( 0 | 0 ) T: y = 0

Nun wirds schwieriger, die Tangenten in A und B.

Ansatz y = mx + b ! m ist ja grade die Steidunge in Punkt, der Kreisfunktion f(x) = 1 +- sqrt( 1 - x^2 )! + für B ; - für A. Wir müssen nur f' berechnen das sollte kein Problem sein. Man erhält schliesslich die Tangenten:

in A ( 0,6 | 0,2 ) T: y = 3/4 x - 1/4
in B ( 0,8 | 1,6 ) T: y = -4/3 x + 8/3

Die Schnittpunkte dieser Geraden liefern uns die Eckpunkte des Tangentenvierecks A*B*C*D*:
A*( -1 | 0 ) B*( 1/3 | 0 ) C*( 1,4 | 0,8 ) D*( -1 | 4 ).

Die Diagonalen gehen hier durch AC und BD!

AC = x - 3y = -1
BD = 3x + y = 1

Diese Diagonalen schneiden sich in U ( 0,2 | 0,4 ) !!

q.e.d.

Den allgemeinen Beweis kann ja wer anders machen

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2524
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 06:56:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Du hast das numerische Beispiel richtig gelöst.
Das Ergebnis kann für den allgemeinen Fall als Richtschnur
und als Testfeld dienen.
Bei der Ermittlung der Tangenten empfehle ich an Stelle
der Differentiation die Polarisation der Kreisgleichung.
Die Gleichung des Kreises ist
x^2 + y^2 = 2 y, diejenige der Polaren bzw. Tangente
x1 x + y1 y = 2 * ½ (y + y1) = y + y1
(x1/y1) ist der Berührungspunkt………………

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2526
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 20:22:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es ist an der Zeit, den allgemeinen Fall anzugehen.
In getrennten Abläufen A] und B]
werden die Diagonalen des Sehnenvierecks einerseits
und des Tangentenvierecks andrerseits in U bzw. V
zum Schnitt gebracht.
In einem Abschnitt C] muss dann gezeigt werden,
dass U und V identisch sind.

zu A]

Vorbemerkungen.

Bezeichnungen:
O: Ursprung; Ecken des Sehnenvierecks O, A, B, C.
(Korrektur im Text der Aufgabenstellung nötig!)
Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte
A(x1/y1), B(x2/y2), C(x3/y3) alle auf dem Kreis
x ^ 2 + y ^ 2 = 2 y liegen.
Beim folgenden Rechengang wir davon nicht explizit
Gebrauch gemacht.

Wo immer es angebracht ist, setzen wir zweireihige
Determinanten ein:

D1= x1 y2 – x2 y1
D2= x2 y3 – x3 y2
D3= x3 y1 – x1 y3

Sie ergeben sich zwanglos bei der Verwendung der Regel
von Cramer bei der Auflösung linearer Gleichungssysteme.

Beginn der Rechnung
Gleichungen der Geraden OB und AC;
OB: y2 x - x2 y = 0
AC: (y1 - y3) x - (x1 – x3) y = D3.

Schnittpunkt U:
xU = - D3 / (D1+D2) * x2
yU = - D3 / (D1+D2) * y2

Setzt man hier die numerischen Werte ein, nämlich
x2 = 0,8 ; y2 = 1,6
D1 = 0,8 ; D2 = 2,4 ; D3 = - 0,8 , so erhalten wir
die bekannten Werte
xU = ¼ 0,8 = 0,2
yU = ¼ 1,6 = 0,4

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2529
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. September, 2003 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Im zweiten Teil der Lösung, im Abschnitt B], wird der
Schnittpunkt V der Diagonalen des Tangentenvierecks
ermittelt; es geht um die Tangenten an den Kreis
x^2 + y^2 = 2 y, verwendet wird die allgemeine
Tangentengleichung
x1 x + y1 y = 2 * ½ (y + y1) = y + y1
(x1/y1) ist der Berührungspunkt.

Bezeichnungen:
Tangente to in O (die x-Achse !),
t1 in A , t2 in B, t3 in C.

Schnittpunkte dieser Tangenten
P : t3 mit to,
Q: t0 mit t1
R: t1 mit t2
S: t2 mit t3

Wir verwenden wiederum die Determinanten
D1, D2, D3 , nämlich

D1= x1 y2 – x2 y1
D2= x2 y3 – x3 y2
D3= x3 y1 – x1 y3

Berechnung der Koordinaten von P und Q; sofort:
xP = y3 / x3, yP = 0 ; xQ = y1 / x1, yQ = 0.

Berechnung der Koordinaten von R:
Tangente t1:
x1 x + (y1 - 1) y = y1
Tangente t2:
x1 x + (y2 - 1) y = y2

Auflösung mit der Regel von Cramer; Resultat:
xR = ( y2 - y1 ) / (D1 + x2 - x1)
yR = D1 / (D1+ x2 - x1)
Diagonale RP, Gleichung (nach einigen Umformungen) :

D1 x3 x + (D2 + D3 + D1 y3 ) y = D1 y3

Mit Hilfe zyklischer Vertauschungen erhalten wir sofort die
Gleichung der andern Diagonalen QS.

D2 x1 x + (D3 + D1 + D2 y1 ) y = D2 y1

Zwischenbemerkung:

Setzt man hier die numerischen Werte ein, so erhält man die
früher erwähnten Geradengleichungen.
PR: 3x + y = 1
QS: - x + 3 y = 1
Der Schnittpunkt ist V(0,2 / 0,4), wie es sein soll !

Fortsetzung folgt

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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Nummer des Beitrags: 2532
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 06:45:   Beitrag drucken

Hi allerseits

In der Fortsetzung des Abschnitts B] zur
Lösung der Vierecksaufgabe VA 2 benötigen wir
zusätzlich zu den Bezeichnungen für die Determinanten
D1, D2, D3:

D1= x1 y2 – x2 y1
D2= x2 y3 – x3 y2
D3= x3 y1 – x1 y3

den Term

G = (D1^2 + D1 D3) x3 – (D2^2+ D2 D3) x1 + D1 D2 D3

Mit der Regel von Cramer berechnen wir nun den
Schnittpunkt V der Geraden
RP : D1 x3 x + (D2 + D3 + D1 y3 ) y = D1 y3
und
QS : D2 x1 x + (D3 + D1 + D2 y1 ) y = D2 y1

Resultat:

xV = [(D1^2 + D1 D3) y3 – (D2^2+ D2 D3) y1] / G
yV = D1 D2 D 3 / G
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°

setzt man G = - 3,84 und die andern numerischen Werte
von früher ein, so kommt wiederum
xV = 0,2 und yV = 0,4
wie erwartet!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2534
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. September, 2003 - 20:15:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es ist nicht so leicht, mit den bisherigen Resultaten
rechnerisch nachzuweisen, dass die Punkte U und V
zusammenfallen.
Dazu sind andere Methoden einzusetzen, z.B.
Linienkoordinaten.
Davon sehe ich ab.

Es ist aber interessant, ein wenig herumzurechnen
und das Bisherige auszunützen.
Wir setzen
yU = yV, d.h.:

- D3 / (D1+D2) * y2 = D1 D2 D 3 / G
Daraus folgt:

y2 G + D1 D2 (D1 + D2 ) = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

dazu kommen noch zwei analoge Gleichungen,
welche man aus der vorhergehenden durch zyklische
Vertauschungen gewinnt:

y3 H + D2 D3 (D2 + D3 ) = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
y1 J + D3 D1 (D3 + D1 ) = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Pro memoria; es gilt:

G = (D1^2 + D1 D3) x3 – (D2^2 + D2 D3) x1 + D1 D2 D3
H = (D2^2 + D2 D1) x1 – (D3^2 + D3 D1) x2 + D1 D2 D3
J = (D3^2 + D3 D2) x2 – (D1^2 + D1 D2) x3 + D1 D2 D3

Setze die numerischen Werte ein und freue Dich daran,
dass alles stimmt!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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