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Gruppentheorie: Kürzungsregel-Beweis?...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Beweisführung » Gruppentheorie: Kürzungsregel-Beweis??? « Zurück Vor »

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Andrea (krümmel)
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Neues Mitglied
Benutzername: krümmel

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 09:52:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich bräuchte dringend Hilfe, weil ich momentan echt auf dem Schlauch stehe mit dieser Aufgabe:
Beweisen Sie den Satz:
In jeder Gruppe <G,*> gelten für a,b,c € G die beiden sogenannten Kürzungsregeln:
(1) Aus a*c=b*c folgt a=b
(2) Aus c*a=c*b folgt a=b

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen
Gruß Andrea
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Tamara (spezi)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi

Nummer des Beitrags: 209
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 13:12:   Beitrag drucken

Hallo,

verknuepfe einfach beide Seiten mit dem inversen Element von c.
a*c*1/c=b*c*1/c
a=b

und beim zweiten Teil genauso

Tamara
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mythos2002 (mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: mythos2002

Nummer des Beitrags: 643
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 29. August, 2003 - 13:58:   Beitrag drucken

Dies kann noch allgemeiner (für jede beliebige Verknüpfung) gezeigt werden, denn dann ist das inverse Element von c nicht gerade 1/c (es ist nämlich nicht sicher, dass mit dem Verknüpfungszeichen «*» nur die Multiplikation gemeint ist).

Die Verknüpfung eines Elementes a mit seinem inversen a' ergibt (in einer Gruppe) immer das neutrale Element n.

a o a' = a' o a = n

Ausserdem gilt:

a o n = n o a = a [ «o» ist das Verknüpfungszeichen]

Somit:

(a o c) o c' = a o (c o c') [Assoziativität!] = a o n = a
(b o c) o c' = b o (c o c') [Assoziativität!] = b o n = b

Weil die beiden linken Seiten gleich sind, folgt
-> a = b

Bei der zweiten Aufgabe werden beide Seiten "von links" mit dem inversen Element von c verknüpft, und dann geht's so wie bisher weiter.

Gr
mYthos
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Andrea (krümmel)
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Neues Mitglied
Benutzername: krümmel

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 08-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 31. August, 2003 - 09:22:   Beitrag drucken

Vielen Dank für Eure schnelle Hilfe, Ihr habt mir sehr weitergeholfen.
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cz12
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Unregistrierter Gast
Autor: 134.155.165.156
Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2010 - 20:58:   Beitrag drucken

Hallo Forenteilnehmer, Ich habe ebenso eine Frage zur Kürzungsregel, daher stelle Ich sie hier und mache mal kein neues Thema auf:


In einem Skript zur LA steht:

Erfüllen a,b,c Element von G (Ergänzung von mir:G für Gruppe) die Gleichung a*b=a*c so ist b=c.

Das soll ( bzw. ist natürlich...) der Beweis dazu:
b=e*b=(a'*a)*b=a'*(a*b)=a'*(a*c)=(a'*a)*c=e*c=c

Mir sind alle Umformungen/Gleichheitszeichen und deren Begründung klar nur ein Gleichheitszeichen ist mir nicht erklärlich nämlich das 4., also das in der Mitte.

Also, dass b=e*b=(a'*a)*b=a'*(a*b) ist und für c analog, ist mir vollkommen klar. Aber warum kann man das Gleichheitszeichen in der Mitte setzen? Warum ist a'*(a*b)_=_a'*(a*c)?

Meiner Meinung kann das nicht sein!?
Danke für die Hilfe!
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 1376
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2010 - 09:55:   Beitrag drucken


quote:

Meiner Meinung kann das nicht sein!?



Es kann nicht nur so sein, es muss sogar so sein, da es die vorausgesetzte Bedingung ist. (Erfüllen a,b,c ... die Gleichung a*b=a*c )

Im Beweis wurde nichts anderes gemacht, als a*b durch a*c zu ersetzen.

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