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SVEA (svealy)
Neues Mitglied
Benutzername: svealy
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. August, 2003 - 20:00: | 
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ich habe ein problem ich kann keine kurvenuntersuchung von dieser funktion machen wer kann mir helfen:
f(x): 1/3 (x^4-4x^3+27) |
Michael Trautvetter (aktuar)
Neues Mitglied
Benutzername: aktuar
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 08-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. August, 2003 - 08:26: |
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Hallo Svea,
1. Definitionsmenge von f
Es ist D(f)=R, da es sich um ein Polynom handelt.
2. Nullstellen von f
Durch Raten oder Zeichnung erhält man, dass
f(3)=1/3*(3^4-4*3^3+27)=0.
Polynomdivision f(x)/(x-3) (ist dir das ein Begriff?) ergibt 1/3*(x^3-x^2-3*x-9), also
f(x)=1/3*(x-3)*(x^3-x^2-3*x-9).
Durch erneutes Raten (oder aus der Tatsache, dass an der Stelle x=3 neben der Nullstelle auch ein Extremwert vorliegt, s. Punkt 4.) erkennt man, dass in x=3 eine doppelte Nullstelle vorliegt, d. h. es ist auch der zweite Klammerausdruck für x=3 Null: 3^3-3^2-3*3-9=0.
Polynomdivision (x^3-x^2-3*x-9)/(x-3) ergibt x^2+2*x+3 = (x+1)^2+2.
Damit ist schließlich f(x)=1/3*(x-3)^2*[(x+1)^2+2].
Weitere Nullstellen sind nicht vorhanden, da der Ausdruck in den eckigen Klammern immer größer als Null ist.
3. Wertemenge von f
Damit ist auch klar, dass W(f)=R0+ (alle reellen Zahlen größer gleich 0) ist.
4. Extremwerte von f
Es ist f'(x)=4/3*x^2*(x-3),
f''(x)=4*x*(x-2) und
f'''(x)=8*(x-1).
Damit ist f'(0)=f'(3)=0.
f''(0)=0 und f'''(0) ungleich 0 => Im Punkt (0;9) liegt kein Extremwert vor (s. Punkt 5.).
f''(3)=12>0 => Im Punkt (3;0) liegt ein Minimum vor (und damit auch eine doppelte Nullstelle, s. Punkt 2.).
5. Wendepunkte von f
Es ist f''(0)=f''(2)=0.
f'''(0) ungleich 0 und f'''(2) ungleich 0 => Es liegt in den Punkten (0;9) und (2;11/3) jeweils ein Wendepunkt vor. Wegen f'(0)=0 ist der Punkt (0;9) sogar ein Sattelpunkt (d. h. ein Wendepunkt mit Steigung 0).
6. Zeichnung des Graphen von f
Dies kann ich dir leider nicht liefern, da mir ein entsprechendes Programm fehlt. Es sollte dir aber nun nicht mehr schwer fallen.
Viele Grüße
Michael |
Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 188
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 09:00: |
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Hallo, ich habe so einen Plotter und hier die Funktion:
Tamara |
Tamara (spezi)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi
Nummer des Beitrags: 189
Registriert: 10-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. August, 2003 - 09:03: |
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P.S.
Ich habe den von irgendwo aus dem Internet
das heisst "funktion.exe" und ist kostenlos und klein, zum Zeichnen reicht es allemal.
Tamara |
Rosalia (Rosalia)
Mitglied
Benutzername: Rosalia
Nummer des Beitrags: 48
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 14:54: |
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Hallo !!!
Ich bräuchte eure Hilfe noch heute wenn es ginge.
Das wäre echt lieb.
Die Aufgabe lautet:
Bestimmen sie die Funktion die folgende Eigenschaften hat:
a.)5 Grades,symm zu P(0|0)
in P(1|1) waagerechte Tangente, x=2 ist Wendestelle
b.)4 grades,symm zu y-Achse
x=Wurzel aus 3 Minimalstelle; x=-2 Nulstelle
Tangente in P(-2|0) hat die Steigung -4
Vielen Dank im Voraus!!
Würd mich über Rechenschritte freuen!!!
gr.rosalia |
Petra22 (Petra22)
Mitglied
Benutzername: Petra22
Nummer des Beitrags: 42
Registriert: 10-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. November, 2003 - 15:14: |
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Hallo Rosalia,
zunächst mal: mach nächstes Mal bitte einen neuen Beitrag auf, wenn du eine neue Frage hast.
Zu deiner Aufgabe:
a) die Funktion ist 5. Grades also lautet sie allgemein:
f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
Jetzt soll sie punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie nur ungerade Potenzen hat. Du kannst aus der allgemeinen Gleichung also schon mal alle Summanden mit gerader Hochzahl streichen:
f(x)=ax^5+cx^3+ex
Jetzt musst du die Angaben verwerten. Da du drei Variablen bestimmen musst, brauchst du 3 Gleichungen:
Du weißt, dass P(0/0) auf f liegt.
Du weißt, dass P(1/1) auf f liegt.
Du weißt, dass P(1/1) eine Extrempunkt ist, da dort die Tangente an die Kurve waagrecht ist.
Du weißt, dass bei x=2 ein Wendepunkt ist.
Jetzt setzt du mal ein.
Erst wird abgeleitet:
f'(x)=5ax^4+3cx^2+e
f''(x)=20ax^3+6cx
P(0/0) liegt auf f:
0=0 bringt dir nichts
P(1/1) liegt auf f:
a+c+e=1 (I)
P(1/1) ist Extrempunkt:
5a+3c+e=0 (II)
für x=2 hat die Kurve einen Wendepunkt, d.h. f''(2)=0:
160a+12c=0 |:4
40a+3c=0 (III)
Jetzt rechnest du a,c und e aus:
(II)-(I):
4a+2c=-1 (IV)
2*(III)-3*(IV):
68a=3 --> a=3/68
eingesetzt in (IV):
c=-10/17
eingesetzt in (I):
e=105/68
Die zweite Aufgabe geht ähnlich. Die kannst du ja jetzt mal selber probieren. Rechne auch die a) nochmal nach, die Zahlen sind so krumm, da kann es sein, dass ich mich verrechnet habe. |
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