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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2447
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 08:13: | 
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Hi allerseits,
Weil es so schön ist, gibt es auch noch die
Vierecksaufgabe 113, sie spielt im R3.
Sie wird mit Aufgabe 114 fortgesetzt werden.
Gegeben :
Punkte A(1/2/3),B(5/0/-1),D(-1/6/-1).
a)
Zeige, dass es einen Punkt C gibt, für den
das Viereck ABCD ein Quadrat ist, und
bestimme die Koordinaten von C.
b)
Ermittle eine Gleichung der Ebene
des Quadrates.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 568
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 09:08: |
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vect(AB) = (4|-2|-4)
vect(AD) = (-2|4|-4)
vect(BD) = (-6|6|0)
a.)
vect(AB) * vect(AD) = 0 und
|vect(AB)| = |vect(AD)|
=>
vect(0C) = vect(0B) + vect(AD) = (3|4|-5)
C(3|4|-5)
b.)
ebene: (2|2|1) * [vect(x) - (3|4|-5)] = 0
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2448
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. August, 2003 - 13:06: |
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Hi Walter,
Besten Dank für Deine Lösung!*
Nun kann ich Nr.114 starten,welche Bezug suf die soeben gelöste Aufgabe nimmt.
MfG
H.R.Moser,megaamth
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2456
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 10:00: |
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Hi allerseits,
als Ergänzung sende ich noch meine Version einer Lösung:
a)
wir beginnen mit den Vektoren
(die Vektorpfeile sind weggelassen)
AB = {4;-2;-4} = 2 {2, -1 ; -2} , Betrag 2 * 3 = 6.
AD = {-2 ;4;-4}= 2 {-1, 2 ; -2} , Betrag 2 * 3 = 6.
Diese Vektoren haben dieselbe Länge 6 und stehen
aufeinander senkrecht, da ihr Skalarprodukt null ist,
wie man leicht nachrechnet.
Wir merken:
Ein Quadrat ABCD ist im Entstehen.
Wir addieren die beiden Vektoren und erhalten als
Summenvektor:
s = {2;2;-8} = 2 {1;1;-4}; s hat den Betrag
2*wurzel(18) = 6*Wurzel (2), das ist gerade
die Länge der Quadratdiagonalen.
Wir tragen diesen Vektor an den Ortsvektor a
von A an und erhalten den Ortsvektor c von C.
Es gilt: c = OA + AC = a + s =
{1;2;3} + {2;2;-8} = {3 ; 4 ; -5}
Somit gilt für die gesuchte Quadratecke:
C(3/4/-5).
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b)
Nun ermitteln wir eine Gleichung der Ebene E des
Quadrates ABCD
Diese Ebene ist etwa bestimmt durch die drei Punkte
ABC.
Routineaufgabe; Resultat:
2x + 2y + z = 9
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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