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reiecksaufgabe 112: Affine Abbildung ...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » reiecksaufgabe 112: Affine Abbildung mit Schikanenen « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2446
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 20:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Vierecksaufgabe 112 trägt das Schlusslicht dieser
Serie.
Sie ist daher etwas exquisit ausgefallen, aber nicht
ausgefallen, sondern befindet sich im Rahmen des
Bisherigen;sie lautet:

Das Viereck, genannt v: A(0/-2), B(4/-2), C(4/2), D(0/2)
wird samt seinem Inkreis k, Mittelpunkt Z,affin abgebildet.
Die y-Achse ist Affinitätsachse, der Punkt Z´ (-2/-4) ist
der Bildpunkt von Z.
a)
Bestimme die Abbildungsgleichungen x´= f(x,y), y´=g(x,y).
und die zugehörige Abbildungsmatrix M.
b)
Welches sind die Koordinaten der Ecken A´, B´, C´, D´
des Bildes von v.
c)
Das affine Bild k´ von k ist eine Ellipse.
Beschreibe zwei markante Paare konjugierter Durchmesser
dieser Ellipse.
d)
Ermittle die Gleichung der Ellipse k´ und
berechne die Halbachsen a und b von k´, sowie deren Produkt.
e)
Bestimme die Steigungen der Hauptachsen von k´.
f)
Die Matrix S sei die Matrix der Spiegelung an
der y-Achse.
Stelle die Matrix M als Produkt einer Matrix Y mit S dar:
M = Y S, oder M = S Z.
Macht es einen Unterschied, ob Y als erste Faktor (vorne)
oder als zweiter Faktor (hinten) wirkt ?
Bestimme Y und Z; um welche Abbildungstypen handelt
es sich dabei?
g)
Die gegebene Abbildung trägt einen bekannten Namen;
um welchen Abbildungstyp handelt es sich?

Auch Lösungen von Teilaufgaben werden gerne
entgegengenommen!

Prosit allerseits!*

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2455
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 09:35:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Vierecksaufgabe 112 darf nicht in Vergessenheit
geraten.
Sie ist es wert, gelöst zu werden; dazu ein paar Hilfen:

Zu a)
Mache den Ansatz: x´ = ax + by; y´= cx + dy.
Verwende zwei entsprechende Punktepaare: etwa
D(0/2) -> D´(0/2) ; Fixpunkt !
Z(2/0) -> Z´(-2/-4).

Zu c) und d)
Bestimme die Umkehrabbildung; löse die
Abbildungsgleichungen unter a) nach x und y auf,
und setze diese Werte in die Kreisgleichung
y^2 = 4 x – x^2 ein, das gibt die Gleichung der Ellipse
5 x´ ^ 2 – 4 x ´ y´ + y´ ^ 2 + 4 x = 0.
Zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse sind Bilder von
zwei Kreisdurchmessern, die senkrecht aufeinander stehen.

Transformiere auf den Mittelpunkt Z´ (-2/-4) mittels
der Transformation
x´= X - 2, y´= Y – 4
Resultat: 5 X ^ 2 _- 4 X Y + Y ^ 2 = 4

Bestimme die Eigenwerte der quadratischen Form
F(x,y) = 5 X ^ 2 – 4 X Y + Y ^ 2
Die Eigenwerte sind L1 = 3 + 2 sqrt(2), L2 = 3 – 2 sqrt(2)
Aus
L1 X^2 + L2 Y^2 = 4
gewinnst Du die Halbachsen
a = 2* (sqrt(2) - 1) und b = 2* (sqrt(2) + 1)
Kontrolle:
Pi * a * b = 4 Pi (Ellipsenfläche = Kreisfläche),ok.

Zu e)
Die Koeffizienten A,B,C der quadratischen Form lauten:
A = 5, B = -2 , C = 1
Daraus: Richtungswinkel gamma einer Hauptachse
mit der Formel tan (2 gamma) = 2B / (A - C) = - 1
usw.

Fortsetzung folgt.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 840
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 18:27:   Beitrag drucken

Hi megamath,

heute zur Entspannung ein wenig rechnen, das macht Spass!!

Man erhält leicht mit den Angegebenen Punkten die Abbildungsmatrix M:

-10
-21


Also x' = x und y' = -2*x + y !

Die Matrix M' zur Umkehrabildung ist grade wieder M, wie man schnell nachrechnen kann: M*M'=E.

Die Ecken lauten also:
A'(0|2) , B'(-4|-10) , C'(-4|-6), D'(0|-2)

Setze ich nun die Umkerabbildungen in die Kreisgleichung ein (Inkreis mit M(2|0) r=2) so erhalte ich die Ellipse:

5*x^2 - 4xy + y^2 + 4x = 0

Man kann hier den Mittelpunkt entweder mit der Abbildung berechnen, oder für ganz harte mit dem Gradienten (), Ergebniss wie schon bekannt M(-2|-4), nun verschieben wir das Koordinatensystem so das M der neue Nullpunkt ist, wir verlieren so das störende lineare Glied 4x.

Nun bearbeiten wir die neue Gleichung 5x^2-4xy+y^2=4. Wir unterziehen sie einer Hauptachsentransformation!

Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix:
5-2
-21

Das charakteristische Polynom lautet: L^2-6L+1=0, mit den Nullstellen 3+-2*Ö2, die beiden Eigenwerte! Nun haben wir das gemischte Glied verloren:

(3+2Ö2)*X^2 + (3-2Ö2)*Y^2 = 4

Nun durch Vier dividieren und man erhält die Normalform:

(3+2Ö2)/4*X^2 + (3-2Ö2)/4*Y^2 = 1

Das Produkt zu bilden ist ja nun ein Kinderspiel!

Die Steigungen der Halbachsen:
einmal 22,5° (m = Ö2-1)
und 112,5° (m = -(Ö2+1))

Der Rest folgt heute oder morgen...

mfg
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 841
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 18:59:   Beitrag drucken

So hier noch der Rest:

Es macht sehr wohl einen Unterschied ob Y zuerst steht oder an zweiter Stelle. Das Matrizenprodukt ist nämlich NICHT kommutativ!

Y=
10
21


Z=
10
-21


Die Abbildungstypen kenne ich nicht, ich hoffe megamath du wirst uns aufklären! Auch die Besonderheit der gegebenen Abbildung erkenne ich nicht, es mag an meiner geringen Erfahrung liegen

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2461
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 08:33:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Deine Lösung ist spannend zu lesen, wie ein guter Krimi!
Bravo!
Tippfehler:
Am Anfang: A´(0/-2),………D´(0/2) als Fixpunkte.

Abbildungsmatrix in Maple-Schreibweise:
M = [[-1,0],[-2,1]], also x´= - x nicht x´= x
M*M'=E ist richtig: die Abbildung ist,wie man sagt,
involutorisch.
Wir lüften das Geheimnis:
Die gegebene Abbildung ist eine Schrägspiegelung
mit der y-Achse als Spiegelungsachse.
Beachte: det(M) = -1, das Affinitätsverhältnis ist – 1.


Für S = [[-1,0],[0,1]], senkrechte Spiegelung an der
Y - Achse und dem Ansatz
M = Y * S (Y vorne!) kommt:
Y = [[1,0],[2,1]]
Y ist eine Scherung mit der y-Achse als Scherungsachse!

Für S = [[-1,0],[0,1]], senkrechte Spiegelung an der
Y - Achse und dem Ansatz
M = S * Y (Y hinten!) = S * Z kommt:
Z = [[1,0],[-2,1]]
Z ist eine Scherung mit der y-Achse als Scherungsachse!


Diese Angaben stimmen mit Deinen Werten für die
beiden Matrizen überein.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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