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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2446 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 20:13: |
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Hi allerseits, Die Vierecksaufgabe 112 trägt das Schlusslicht dieser Serie. Sie ist daher etwas exquisit ausgefallen, aber nicht ausgefallen, sondern befindet sich im Rahmen des Bisherigen;sie lautet: Das Viereck, genannt v: A(0/-2), B(4/-2), C(4/2), D(0/2) wird samt seinem Inkreis k, Mittelpunkt Z,affin abgebildet. Die y-Achse ist Affinitätsachse, der Punkt Z´ (-2/-4) ist der Bildpunkt von Z. a) Bestimme die Abbildungsgleichungen x´= f(x,y), y´=g(x,y). und die zugehörige Abbildungsmatrix M. b) Welches sind die Koordinaten der Ecken A´, B´, C´, D´ des Bildes von v. c) Das affine Bild k´ von k ist eine Ellipse. Beschreibe zwei markante Paare konjugierter Durchmesser dieser Ellipse. d) Ermittle die Gleichung der Ellipse k´ und berechne die Halbachsen a und b von k´, sowie deren Produkt. e) Bestimme die Steigungen der Hauptachsen von k´. f) Die Matrix S sei die Matrix der Spiegelung an der y-Achse. Stelle die Matrix M als Produkt einer Matrix Y mit S dar: M = Y S, oder M = S Z. Macht es einen Unterschied, ob Y als erste Faktor (vorne) oder als zweiter Faktor (hinten) wirkt ? Bestimme Y und Z; um welche Abbildungstypen handelt es sich dabei? g) Die gegebene Abbildung trägt einen bekannten Namen; um welchen Abbildungstyp handelt es sich? Auch Lösungen von Teilaufgaben werden gerne entgegengenommen! Prosit allerseits!* Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2455 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 09:35: |
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Hi allerseits, Die Vierecksaufgabe 112 darf nicht in Vergessenheit geraten. Sie ist es wert, gelöst zu werden; dazu ein paar Hilfen: Zu a) Mache den Ansatz: x´ = ax + by; y´= cx + dy. Verwende zwei entsprechende Punktepaare: etwa D(0/2) -> D´(0/2) ; Fixpunkt ! Z(2/0) -> Z´(-2/-4). Zu c) und d) Bestimme die Umkehrabbildung; löse die Abbildungsgleichungen unter a) nach x und y auf, und setze diese Werte in die Kreisgleichung y^2 = 4 x – x^2 ein, das gibt die Gleichung der Ellipse 5 x´ ^ 2 – 4 x ´ y´ + y´ ^ 2 + 4 x = 0. Zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse sind Bilder von zwei Kreisdurchmessern, die senkrecht aufeinander stehen. Transformiere auf den Mittelpunkt Z´ (-2/-4) mittels der Transformation x´= X - 2, y´= Y – 4 Resultat: 5 X ^ 2 _- 4 X Y + Y ^ 2 = 4 Bestimme die Eigenwerte der quadratischen Form F(x,y) = 5 X ^ 2 – 4 X Y + Y ^ 2 Die Eigenwerte sind L1 = 3 + 2 sqrt(2), L2 = 3 – 2 sqrt(2) Aus L1 X^2 + L2 Y^2 = 4 gewinnst Du die Halbachsen a = 2* (sqrt(2) - 1) und b = 2* (sqrt(2) + 1) Kontrolle: Pi * a * b = 4 Pi (Ellipsenfläche = Kreisfläche),ok. Zu e) Die Koeffizienten A,B,C der quadratischen Form lauten: A = 5, B = -2 , C = 1 Daraus: Richtungswinkel gamma einer Hauptachse mit der Formel tan (2 gamma) = 2B / (A - C) = - 1 usw. Fortsetzung folgt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 840 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 18:27: |
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Hi megamath, heute zur Entspannung ein wenig rechnen, das macht Spass!! Man erhält leicht mit den Angegebenen Punkten die Abbildungsmatrix M: Also x' = x und y' = -2*x + y ! Die Matrix M' zur Umkehrabildung ist grade wieder M, wie man schnell nachrechnen kann: M*M'=E. Die Ecken lauten also: A'(0|2) , B'(-4|-10) , C'(-4|-6), D'(0|-2) Setze ich nun die Umkerabbildungen in die Kreisgleichung ein (Inkreis mit M(2|0) r=2) so erhalte ich die Ellipse: 5*x^2 - 4xy + y^2 + 4x = 0 Man kann hier den Mittelpunkt entweder mit der Abbildung berechnen, oder für ganz harte mit dem Gradienten (), Ergebniss wie schon bekannt M(-2|-4), nun verschieben wir das Koordinatensystem so das M der neue Nullpunkt ist, wir verlieren so das störende lineare Glied 4x. Nun bearbeiten wir die neue Gleichung 5x^2-4xy+y^2=4. Wir unterziehen sie einer Hauptachsentransformation! Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix: Das charakteristische Polynom lautet: L^2-6L+1=0, mit den Nullstellen 3+-2*Ö2, die beiden Eigenwerte! Nun haben wir das gemischte Glied verloren: (3+2Ö2)*X^2 + (3-2Ö2)*Y^2 = 4 Nun durch Vier dividieren und man erhält die Normalform: (3+2Ö2)/4*X^2 + (3-2Ö2)/4*Y^2 = 1 Das Produkt zu bilden ist ja nun ein Kinderspiel! Die Steigungen der Halbachsen: einmal 22,5° (m = Ö2-1) und 112,5° (m = -(Ö2+1)) Der Rest folgt heute oder morgen... mfg
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 841 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 18:59: |
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So hier noch der Rest: Es macht sehr wohl einen Unterschied ob Y zuerst steht oder an zweiter Stelle. Das Matrizenprodukt ist nämlich NICHT kommutativ! Y= Z= Die Abbildungstypen kenne ich nicht, ich hoffe megamath du wirst uns aufklären! Auch die Besonderheit der gegebenen Abbildung erkenne ich nicht, es mag an meiner geringen Erfahrung liegen mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2461 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 08:33: |
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Hi Ferdi, Deine Lösung ist spannend zu lesen, wie ein guter Krimi! Bravo! Tippfehler: Am Anfang: A´(0/-2),………D´(0/2) als Fixpunkte. Abbildungsmatrix in Maple-Schreibweise: M = [[-1,0],[-2,1]], also x´= - x nicht x´= x M*M'=E ist richtig: die Abbildung ist,wie man sagt, involutorisch. Wir lüften das Geheimnis: Die gegebene Abbildung ist eine Schrägspiegelung mit der y-Achse als Spiegelungsachse. Beachte: det(M) = -1, das Affinitätsverhältnis ist – 1. Für S = [[-1,0],[0,1]], senkrechte Spiegelung an der Y - Achse und dem Ansatz M = Y * S (Y vorne!) kommt: Y = [[1,0],[2,1]] Y ist eine Scherung mit der y-Achse als Scherungsachse! Für S = [[-1,0],[0,1]], senkrechte Spiegelung an der Y - Achse und dem Ansatz M = S * Y (Y hinten!) = S * Z kommt: Z = [[1,0],[-2,1]] Z ist eine Scherung mit der y-Achse als Scherungsachse! Diese Angaben stimmen mit Deinen Werten für die beiden Matrizen überein. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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