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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2445
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 19:45: | 
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Hi allerseits
Gegeben sind die Scherung
x´ = x - 3/2 y
y´ = y
und der Kreis k : x^2 + y^2 = 25.
Zwei senkrechte Geraden g und h
mit den Gleichungen y = mx und y = - 1/m x
schneiden den Kreis in den Punkten A, B bzw. C, D.
Damit ist dem Kreis ein Quadrat ACBD einbeschrieben.
Ermittle m so, dass die affinen Bilder g´ und h´ die
Hauptachsen der Bildellipse k´ von k werden,
d.h. die Bildpunkte der Ecken des Quadrates
sind die Scheitelpunkte der Ellipse k´.
Welches sind die Koordinaten der Scheitel?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2457
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 10:35: |
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Hi allerseits,
Die Vierecksaufgabe 111 darf nicht in Vergessenheit
geraten.
Sie ist es wert, gelöst zu werden; dazu ein paar Hilfen:
Wichtig: Löse die Abbildungsgleichungen nach x und y auf
(Umkehrabbildung);
Ergebnis:
x = x´+ 3/2 y´
y = y´
setze das in die beiden Geradengleichungen
y = m x und y = -1 / m x ein; du bekommst die Gleichungen
der Bilder, nämlich
einerseits:
y ´ = m x ´ + 3 /2 m y ´, geordnet:
y´ (1 - 3/2 m) = m x ‚
daraus entnimmst Du die Steigung n1 der Bildgeraden,
nämlich n1= m / [1 – 3 /2 m] =….
andrerseits:
y´ (1 - 3/2 m) = - 1/m x ‚
daraus entnimmst Du die Steigung n2 der Bildgeraden,
nämlich n2 = - 1 / [m + 3/2] =….
Jetzt kommt die Orthogonalitätsbedingung:
die Bildgeraden stehen aufeinander senkrecht, mithin gilt:
n1 * n2 = - 1
°°°°°°°°°°°°°°
Das gibt eine quadratische Gleichung für m und schliesslich
hast Du die Steigungen der Hauptachsen der Bildellipse.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 15:04: |
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Hi megamath,
lass mir noch ein paar Tage Zeit mit diesen Aufgaben! Ich komme grade zurück und sehe, das du eine Menge neuer Aufgaben gepostet hast. Ich würde mich gerne an allen, die noch nicht gelöst sind, am Wochenende (ab Freitag nachmittag) beschäftigen!
Ich bin gerade eben aus dem Wald zurückgekehrt. Es war anstrengender als ich dachte. Wir mussten zweimal unseren Standort Aufgrund von Kontamination um 12km wechseln (einmal bei Nacht einmal bei Tag). Da bleibt nicht viel Zeit für Mathe...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2459
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 15:13: |
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Hi Ferdi,
Das werde ich tun.
Anmerkung:
Aus Sicherheitsgründen wären für die Dislokation 13 km besser gewesen !
MfG |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 839
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. August, 2003 - 16:40: |
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Hi,
mit dem obigen Rezept bekomme ich:
a: y = -2*x ; b: y = 0,5*x
und
a': y = 2*x ; b: y = -0,5*x (Beweis das sie die Geraden sind, später)
Quadrat ABCD:
(Ö5|-Ö20) , (-Ö5|Ö20) , (Ö20|Ö5) , (-Ö20|-Ö5)
mit der Scherung sofort die Bildpunkte
(Ö80|-Ö20) , (-Ö80|Ö20) , (Ö1,25|Ö5) , (-Ö1,25|-Ö5)
Man kann nun leicht zeigen das A' und B' auf der Geraden y = -0,5*x liegen (C' und D' auf y = 2*x). Sie liegen also wie gefordert auf den Hauptachsengeraden! Halbachsen hier d(O,A')=10 , bzw d(C',O)=2,5
mfg
PS Es entsteht die Ellipse:
4 * x ^ 2 + 12 * x * y + 13 * y ^ 2 = 100! Oder in einem gedrehten Koordinatensystem: 16 * x ^ 2 + y ^ 2 = 100! Hier erkennt man auch die Halbachsen wie oben... |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2460
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 07:22: |
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Hi allerseits,
Es folgen weitere Angaben zur Lösung der
Vierecksaufgabe 111.
Die in meinem letzten Beitrag erwähnte
Orthogonalitätsbedingung n1 * n2 = -1
führt auf die quadratische Gleichung in m:
6 m^2 + 9m – 6 = 0 mit den Lösungen
m1 = ½ , m2 = - 2.
Das sind die Steigungen der Hauptachsen der
Bildellipse.
Auswertung
A]
Sei w = sqrt(5)
Die Gerade y = ½ x schneidet den Kreis in den Punkten
(2w/w), (-2w/-w)
Die Bildpunkte sind Scheitel der Ellipse
(½ w/w),(- ½ w/-w)
B]
Sei w = sqrt(5)
Die Gerade y = - 2x schneidet den Kreis in den Punkten
(w/-2w), (-w/ 2w)
Die Bildpunkte sind die restlichen Scheitel der Ellipse
(4 w / -2w),(- 4 w / 2 w)
Dasselbe Resultat ergibt auch die Lösungsvariante
von Ferdi.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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