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Vierecksaufgabe 109: Scherung eines V...

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2440
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. August, 2003 - 10:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Vierecksaufgabe 109 geht es um eine spezielle
Achsenaffinität, die Scherung.
Die Achse der Scherung (Affinitätsachse) hat die
Gleichung 2 x + y = 1;
zum Punkt Q (1/1) gehört der Bildpunkt Q´ (3/?).
O´P´Q´R´ ist das Bild des Quadrates
O(0/0), P(1/0) ,Q(1/1), R(0/1) .
Berechne die Koordinaten der Ecken des Bildquadrates
und dessen Fläche.
Welcher Punkt U(u/v) wird auf O abgebildet?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 838
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. August, 2003 - 22:35:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

eines kann man vorab sagen, die Fläche des Bildquadrats muss mit dem des Ursprungsquadrat übereinstimmen, weil die "Scherung" eine Flächentreue Abbildung ist. Die Fläche müsste also A=1 FE sein.
Das Problem ist bei dieser Aufgabe, das die Affinitätsachse=Scherungsachse nicht wie üblich die x- Achse, sondern eine Gerade ist. Nun, da ich mir nicht besser zu helfen wusste habe ich mir folgendes gedacht.

Erstmal drehen wir das Quadrat O,P,Q,R üm den Winkel arctan(-2)=-63,43494882° Begründung: das ist der Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden y=-2x+1.
Um die "+1" zu berücksichtigen verschieben wir im Anschluss an die Drehung noch das Koordinatensystem, indem wir bei allen Bildpunkten noch eine Eins zum Ordinatenabschnitt. Die Ergebnis unser Holzhammerrechnung ist, das nun die Grade y=-2x+1 die neue x- Achse unseres Koordinatensystems ist, und wir nun die Formeln anwenden können, die gelten, wenn die x- Achse die Scherungsachse ist.

Der Weg mag dir etwas umständlich erscheinen, aber ich hoffe im Prinzip Korrekt. Ferdi und ich haben uns beraten und bei seinen Berechnungen hat er festgestellt, das sein Bildquadrat nicht mit dem Ursprungsquadrat Flächengleich ist, also irgendwo ein Fehler drin sein muss.

mfg

Niels
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2442
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 08:13:   Beitrag drucken

Hi Niels,

Dieser Aufwand mit der Drehung und Parallelverschiebung des
Koordinatensystems lohnt sich nach meiner Ansicht nicht.
Es ist am besten, sich von fixierten Ideen und Formelsammlungen
zu lösen.
Zu empfehlen ist der bekannte Ansatz für die allgemeinen affine
Abbildung.
x´= a x + b y + c
y´= d x + e y + f

Wir benötigen drei Paare entsprechender Punkte; in Frage kommen:
Q(1/1) -> Q´(3/-3)
(beachte, dass die Affinitätsrichtung parallel zur Affinitätsachse verläuft)
R(0/1) -> R´(0/1) ist Fixpunkt als Punkt der Affinitätsachse
S(½/0) -> S´(½/0) ist Fixpunkt als Punkt der Affinitätsachse
Mit dem genannten Ansatz erhalten wir durch Einsetzen ein einfaches
lineares Gleichungssystem für die sechs Unbekannten; das Resultat:
a = 3 , b = 1 , c = -1
d = - 4 , e = -1 , f = 2
Die Abbildungsgleichungen lauten mithin:
x´= 3 x + y - 1
y´= - 4 x - y + 2

Die Determinante der erntsrechenden Abbildungsmatrix ist 1 !

Ecken des Bildvierecks:
O´(-1/2) ; P´(2/-2); Q´(3/-3) ,R´(0/1)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Gesuchter Punkt U(1/-2)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 839
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 14:57:   Beitrag drucken

Hi Megamath,

du hast recht, dein Weg ist viel einfacher und eleganter- hätte ich selber drauf kommen müssen!

Naja, vieleicht die nächste Aufgabe.

mfg

Niels
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 835
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 17:57:   Beitrag drucken

Hi megamath,

das Ergebniss hatte ich gestern auch raus. Mich verwunderte nur, das das entstehende Viereck kein Quadrat ist, denn in deiner Aufgabenstellung lautete es:

"Berechne die Koordinaten der Ecken des Bildquadrates und dessen Fläche. "

Deshalb hatte ich Probleme,ich dachte ich hätte einen Fehler gemacht, weil kein Quadrat entstand! Ansonsten hatte ich das Ergebniss ja so!

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2443
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. August, 2003 - 19:06:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Die Formuliereung ist irreführend,ok.
Besser wäre: die Ecken des Bildes des
Ausgangsquadrates oder so ungefähr.
In der Hitze des Gefechts passieren solche Sachen !

MfG
H.R.Moser,megamath

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