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Jezz (jezz)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 98
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. August, 2003 - 11:23: | 
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1) f(x) = (e^x- e^(-x))/ ( e^x+e^(-x)
Ich habe für f’(x) folgendes:
((e^x+e^(-x))² - (e^x-e^(-x))²) / (e^x+e^(-x))²
= 1- (e^x-e^(-x))²/ ( e^x + e^-x)²
Als Lösung ist:
f ‘ (x) = 4/ (e^x+e^(-x))² angegeben.
Wenn mich nicht alles täuscht, stimmen die beiden Graphen überein. Nur wie kommt man auf die zweite Lösung?
2) Gegeben ist die Parabel K mit der Gleichung y = (x-3)². In welchem Punkt P der Parabel ist die Normale eine Ursprungsgerade?
y' = 2 (x-3)
Normale: m1*m2= -1
Nur wie kommt man auf den Punkt P?
Vielen Dank im voraus.
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Walter H. (mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 565
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. August, 2003 - 12:10: |
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f(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x + e^(-x)) =
(e^(2x) - 1) / (e^(2x) + 1) =
(e^(2x) + 1 - 1 - 1) / (e^(2x) + 1) =
1 - 2/(e^(2x) + 1) = 1 - 2*(e^(2x) + 1)^(-1)
f'(x) = 0 - 2*(-1)*(e^(2x) + 1)^(-2)*2*e^(2x) =
4*e^(2x)/(e^(2x) + 1)^2 = 4*(e^x/(e^(2x) + 1))^2 =
4*(1/(e^x + e^(-x))^2 = 4/(e^x + e^(-x))^2
Lösung stimmt.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2434
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. August, 2003 - 13:34: |
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Hi Jezz,
Walter hat mir die zweite Aufgabe grosszügig überlassen;
besten Dank.
Um keine Verwechslungen aufkommen zu lassen,
bezeichnen wir den laufenden Punkt der Parabel mit P(u/v).
Dann gilt erstens:
v = ( u – 3 ) ^ 2……………………………………………….(1)
Die Steigung der Tangente in P ist m1 = 2 (u-3), diejenige
der Kurvennormalen
m2 = - 1 / m1 = - 1 / [2*(u-3)]
andrerseits gilt m2 = v / u, mithin durch Gleichsetzung:
2 (u-3) v = - u ; mit (1) entsteht die kubische Gleichung für u:
2 ( u – 3 ) ^3 = - u oder
2 u ^ 3 - 18 u ^2 + 55 u – 54 = 0
Als einzige reelle Lösung findet man (so oder so) :
u = 2 mit zugehörigem v = 1.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Jezz (jezz)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: jezz
Nummer des Beitrags: 99
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. August, 2003 - 12:09: |
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Danke! |
