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Klaus Dannetschek (klausrudolf)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: klausrudolf
Nummer des Beitrags: 57
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 18:58: | 
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Klingt furchterregend, aber die Aufgabe ist denkbar einfach formuliert:
Zu integrieren die Funktion e^-x^2 über die relle Zahlengerade.
Mit diesem Integral bin ich in einer Diskussion über die Verwendung des Taschenrechners im Matheunterricht "totgeschlagen" worden (daher der Titel) - auch für ihn gibt es Grenzen, dass Integral "knackt" der nie!! Denkste !! Das Quadrat des Inegrals war eine verblüffend simple Fläche (Einheitskreis), aber wie beweist man so etwas mit den Mitteln der Analysis (also ohne Numerik) ?? Um die "Ehre" der "reinen" Mathematik zu retten !
Gruß
Klaus |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 829
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 19:41: |
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Hi,
da gibts 3 Möglichkeiten dies zu zeigen:
ò-¥ ¥ e ^ -(x^2) dx = Öp
Es kommt nur darauf an welches Vorwissen du hast...z.B kennst du die Gammafunktion oder hast du Kenntnisse über Polarkoordinaten oder das Produkt von Wallis? Sonst wirds schwierig... Vieleicht postet ja schon mal einer eine der drei Möglichkeiten sonst poste ich morgen eine Möglichkeit!
mfg |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 21:23: |
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Zwei Möglichkeiten findet man in der FAQ von de.sci.mathematik:
http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/dsm/ faq.pdf
Hierbei ist zu beachten, dass für den Beweis über Polarkoordinaten natürlich grundlegendes über Lösen von Doppelintegralen als Vorwissen vorausgesetzt wird, was in der FAQ nicht näher erläutert wird. |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2422
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 21:33: |
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Hi Klaus,
Ich bin im Zusammenhang mit Deiner Frage mit Nachdruck
gebeten worden, frühere Arbeiten, die ich zu Deinem Problem
verfasst habe, aus dem Archiv zu holen und diese schönen Bildchen
Eingeweihten zu zeigen.
Sie sind von allgemeinem Interesse und waren in zahlReich, im
Januar (Jänner,hihi) 2002, ein Hit.
Ein guter Rat: lass Dich durch Ignoranten nicht einschüchtern !
Ich zeige jetzt den wohl bekanntesten Beweis, der mir persönlich
am besten gefällt.
Das einfache Gausssche Fehlerintegral
J = int [e^ (-x^2) * dx ] ; für x: untere Grenze null,
obere Grenze unendlich,
wird auf die Berechnung eines Doppelintegrals zurückgeführt.
Es gilt ebenfalls
J = int [e^ (-y^2) * dy ] ; für y: untere Grenze null,
obere Grenze unendlich,
Multipliziert man die beiden Beziehungen, so folgt:
J^2=int [e^ (-x^2) * dx ] int [e^ (-y^2) * dy ] =
int [int e ^{- (x^2+y^2)}*dx]*dy]
Grenzen : die bereits genannten
Dieses Doppelintegral stellt das Volumen eines Körpers dar,
welcher bezüglich eines cartesischen (x,y,z)-Koordinatensystems
ganz im ersten Oktant liegt und nach
oben durch die Rotatiosfläche z = e ^{- (x^2 + y^2)} begrenzt
wird.
Nach unten wird der Körper durch die xy-Ebene begrenzt,
seitlich durch die anderen Koordinatenebenen.
Empfehlung: skizziere die Situation oder noch besser:
stelle den Körper mit Maple in PLOT3D dar.
Jetzt führen wir Polarkoordinaten (r, phi) ein. Wir erhalten:
J^2 = int[int e^(- r^2) r d(phi) dr ]]
untere Grenze für phi: 0 , obere Grenze für phi: ½ * Pi
untere Grenze für r :0 , obere Grenze für r: unendlich.
Hilfreich ist die Substitution r^2 = - t , 2 r dr = - dt
Die Grenzen für phi bleiben, diejenigen für t sind neu:
unten 0 , oben MINUS unendlich.
Damit erhalten wir:
J^2 = - ½ * int [ d(phi) int[e^ t * dt ]] = - ½ * int[d(phi) [0-1]]
Die eckige Klemmer[0 – 1] entsteht dadurch, dass in e^ t
für t zuerst die obere Grenze minus unendlich und dann für t
die untere Grenze 0 gesetzt und die Differenz 0 – 1 gebildet wird.
Damit kommt:
J^2 = ¼ * Pi , also J = ½ * wurzel (Pi), w.z.b.w.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H,R.Moser, megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2423
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 21:37: |
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Hi Klaus,
Fortsetzung I : wichtige Ergänzungen
1]
Das Funktionsgebirge, das beim Doppelintegral eine
Rolle spielt, liegt samt dem darunter liegenden
Volumen, das wir berechnen wollen, ganz im
ersten Oktant, weil die beiden Variablen x und y
nur positive Werte und je den Wert null annehmen;
es gilt doch für die Integrationsvariablen x , y:
0 < = x < infinity
0 < = x < infinity
2]
Bei Doppelintegralen ist bei einer Transformation
der Integrationsvariablen die so genannte
Funktionaldeterminante G zu berechnen und auf eine
bestimmte Art in die Rechnung einzubringen
(bitte in den Theoriebüchern nachlesen !).
Bei der Einführung der neuen Variablen u und v
mit x = f1(u,v) , y = f2(u,v) berechnet man G so :
G = g1 * h2 – g2 * h1, wobei gilt:
g1 ist die partielle Ableitung von f1 nach u
g2 ist die partielle Ableitung von f1 nach v
h1 ist die partielle Ableitung von f2 nach u
h2 ist die partielle Ableitung von f2 nach v
Aus dem Flächenelement dx * dy wird neu:
das Flächenelement G * du * dv in den neuen
Variablen.
In unserem Fall gilt:
x = r cos (phi) , y = r sin(phi)
g1 = cos(phi) , g2 = - r sin(phi)
h1 = sin(phi) , h2= r cos (phi)
Für die Funktionaldeterminante kommt :
G = r * (cos phi) ^ 2 + r *( sin phi) ^ 2 = r
Als Flächenelement erscheint das in meiner
Arbeit angegebene Produkt
r dr d(phi)
°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Fortsetzung folgt
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2424
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 21:41: |
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Hi Klaus,
Fortsetzung II
Es folgt eine weitere Herleitung, welche vom Stil her
am ehesten den Methoden von Euler entspricht.
Es wird dabei auch auf das Produkt von Wallis Bezug genommen,
mit dem sich Euler ausgiebig beschäftigt hat (siehe Anhang).
Zuerst stellen wir die nötigen Hilfsformeln (ohne Beweise)
zusammen.
Die Herleitung des Fehlerintegrals beruht auf allen diesen Formeln
und wird wie ein Puzzle aus ihnen aufgebaut.
I.
Zwei Integrale:
int [(1 – x ^ 2) ^ n * dx = [2*4*6 *...* (2n)] / [3*5*7…*(2n+1)] ,
untere Grenze 0,obere Grenze 1
int [(1 / (1 + x ^ 2) * dx = [1*3*5 *...* (2n-3)] / [2*4*6…*(2n-2)] ,
untere Grenze 0,obere Grenze unendlich.
II.
Produkt von Wallis
lim [2*4*6 *...* (2n)] / [1*3*5*7…*(2n-1) * 1 / wurzel(n) ] = wurzel (Pi)
lim für n strebt gegen unendlich.
III
Transformationen von Integralen mittels Substitution
W =int [e^(-x^2) * dx ],
untere Grenze 0, obere Grenze wurzel(n)
Substitution: x = wurzel(n) * t, dx = wurzel(n) * dt ;mithin:
W = wurzel(n) * int [e^(-n*t^2) * dt ] = wurzel(n) * int [e^(-n*x^2) * dx ],
untere Grenze 0, obere Grenze 1 !
analog: aus
U = wurzel(n) * int [e^(-n*x^2) * dx ] mit
unterer Grenze 0, oberer Grenze unendlich, wird
U = int [e^(- t^2) * dt ] = int [e^(- x^2) * dx ] = J ,
das ist das Fehlerintegral,wobei
die untere Grenze 0, die obere Grenze unendlich ist.
IV
Ungleichungen
Aus der graphischen Darstellung der Exponentialfunktion y = e^x
samt ihrer Tangente y = x + 1 im Schnittpunkt mit der y -Achse
erhalten wir die Ungleichung :
1+ z < = e ^ z ; Konsequenzen:
1 – z < = e ^ ( - z ) < = 1 / ( 1 + z ) und für positive ganze n :
(1 – x ^ 2) ^ n < = e ^ ( - n x ^ 2 ) < =1 / ( 1 + x ^ 2 ) ^ n
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°°°°°°
Das Gleichheitszeichen gilt nur für x = 0.
Damit ist die Vorbereitungsphase zu Ende, und wir entwickeln nun
kommentarlos eine Ungleichungskette mit dem Ziel, das Integral J
in ein Sandwich zu pressen.
Das Ergebnis wird sein, dass Anfang L und Ende R der Kette für n
gegen unendlich je denselben Grenzwert G = ½ * wurzel(Pi) haben,
sodass auch
J = G gilt !
Die Kette lautet
wurzel(n)*[2*4*6 *...* (2n)] / [3*5*7…*(2n+1)] <
wurzel(n)* int [e^(-n*x^2) * dx ] = (Gleichheit!)
(unterer Grenze 0, oberer Grenze unendlich)
int [e^(-x^2) * dx ] <
(untere Grenze 0, obere Grenze wurzel(n))
int [e^(- x^2) * dx ] = J (!!!) =
wurzel(n) * int [e^(-n*x^2) * dx ] <
(untere Grenze 0, obere Grenze unendlich)
wurzel(n)*int [(1 / (1 + x ^ 2) * dx =
wurzel(n)* [1*3*5 *...* (2n-3)] / [2*4*6…*(2n-2)] * Pi/2 ,
(untere Grenze 0,obere Grenze unendlich)
Der erste Term L wird umgeformt zu
L = [2*4*6 *...* (2n)] / [1*3*5*7…*(2n-1)] * 1/wurzel (n) * 1/{2+1/n}
Der letzte Term R wird umgeformt zu R =
[1*3*5 *...* (2n-1)] / [2*4*6…*(2n)] wurzel(n)*wurzel(Pi)*1/{1-1/(2n)}* ½ wurzel(Pi)
Nach Wallis stimmen für n gegen unendlich die Grenzwerte von L und R überein.
lim L = lim R = ½ *wurzel(Pi),w.z.b.w.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Nachtrag
Historische Bemerkungen
Mit dem unendlichen Produkt in (II) hat sich, wie die Bezeichnung aussagt,
bereits John Wallis ( 1616-1703) beschäftigt .
Aber erst Leonhard Euler ( 1707 –1783) gelang eine Herleitung.
Man findet die Ausführungen Eulers zu diesem Thema im 11. Kapitel
des ersten Bandes seiner Introductio
(Einführung in die Analysis des Unendlichen).
Dieses Kapitel trägt die Überschrift:
„Von andern unendlichen Ausdrücken für die Bogen und die Sinus.“
Es enthält dabei u.a. die Entwicklung der Zahl Pi in ein unendliches
Produkt.
Von einer faszinierenden Funktion, der
EULERSCHEN GAMMA – FUNKTION,
soll im nächsten Abschnitt die Rede sein.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Fortsetzung folgt
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2425
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 21:45: |
|
Hi Klaus,
Fortsetzung III
In einem älteren Lehrbuch der Integralrechnung finde ich
einen Abschnitt, der den Titel trägt:
„Theorie der EULERschen Integrale“
Er erstreckt sich über 21 Druckseiten und enthält die folgenden Kapitel,
die einen Eindruck über die Vielschichtigkeit des Themas vermitteln.
I.
Erklärung der Eulerschen Integrale erster und zweiter Gattung
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°°°°°°°°°°°
Das Eulersche Integral erster Gattung oder die Betafunktion
B(p.q) wird definiert durch das Integral:
B(p.q) = int[x^(p-1)*(1-.x)^(q-1) *dx],
untere Grenze 0.obere Grenze 1.
p und q > 0
Das Eulersche Integral zweiter Gattung oder die Gammafunktion
Gamma(p) wird definiert durch das Integral
Gamma(p) = int[e^(-x) *x^(p-1) * dx],
untere Grenze null, obere Grenze unendlich.
p > 0
Zusammenhang beider:
B(p,q) = [Gamma(p) * Gamma(q) ] / Gamma (p + q)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°
Anmerkung::
C.F.Gauss bezeichnet die Funktion Gamma(1+x) mit PI (x).
II
Darstellung der Gammafunktion durch unendliche Produkte
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °°°°°°
Beispiel
Gamma(p) = product.[ (1+1/n) ^(p-1) / {1+(p-1)/n} ]
Der Produktindex läuft von n = 1 bis unendlich
III
Eigenschaften der Gammafunktion
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Beispiele
Gamma(1+p) * Gamma(1-p) = (p * Pi) / sin (p * Pi)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° °
für p = ½ folgt daraus
Gamma( ½ ) = wurzel (Pi)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
ein bedeutungsvolles Resultat mit Konsequenzen!
IV
Berechnung von ln{Gamma(p)}
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Beispiel mit ln{Gamma(t)}
int [ln{Gamma(t)}*dt] = ln [wurzel( 2 * Pi )]
untere Grenze des Integrals 0 ,obere Grenze 1.
V
Einige besondere Werte der Gammafunktion und ihre
Anwendung auf die Berechnung von bestimmten Integralen.
Beispiele
Gamma(3/2) = ½ * wurzel(Pi)
Gamma(5/2) = ¾ * wurzel(Pi)
Gamma(7/2) = 3 * 5 / 8 * wurzel(Pi)
.................................................. ......
Gamma(1+ ¼ ) * Gamma(1- ¼ ) = Pi / (2*wurzel(2))
Gamma(1+ 1/3 ) * Gamma(1 – 1/3) ) = 2 Pi / (3*wurzel(3))
Beim folgenden Integral: untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi
int [1/ wurzel{sin(t)} * dt] = 1 / [2*wurzel(2*Pi)] * [Gamma (¼ )]^2
Beim folgenden Integral: untere Grenze 0 , obere Grenze 1
int [1/wurzel(1-x^4) * dx] = 1 / [4*wurzel(2*Pi)] * [Gamma (¼ )]^2
u.s.w.
Das eingehende Studium der Gammafunktion lohnt sich sehr!
und öffnet viele Zugänge in der Analysis und Funktionentheorie.
Aber lass Dir Zeit!
Vorläufiges Ende des Überfalls!
Sollte ich etwas ausgelassen haben,wird mich Ferdi ev. ergänzen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 830
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 10:21: |
|
Hallo,
besten Dank an megamath. Du hast mir die Arbeit abgenommen!
Das waren genau die drei Methoden die ich meinte, ich hab sie ja auch selber hier im Forum kennengelernt!
Vielleicht noch ein Tipp: Im Buch Analysis I von Otto Forster wird die Gammafunktion und dein Integral auch behandelt, lohnt sich mal reinzuschauen (ab Seite 208)
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2428
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 11:38: |
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Hi allerseits,
Als Vorkenntnisse für das Folgende braucht man bloss
zu wissen, dass
Gamma( ½ ) = sqrt(Pi) ………………………………(1)
gilt.
Auf eine Bestätigung dieser Aussage komme ich
im post scriptum (PS) zurück.
Abschliessend möchte ich zeigen, wie man mit Hilfe
der Gammafunktion
Gamma(x) = G(x) = int[e^(-t) * t^(x-1) dt]………….(2)
unterer Grenze t = 0, obere Grenze t = infinity,
für das Fehlerintegral
J = int [e^ (-x^2) * dx ] ; untere Grenze x = 0,
obere Grenze unendlich, den Wert
J = ½ sqrt(Pi) ………………………………………………………..(3)
findet.
Das geht so:
Mit (2) kommt sofort:
G (½) = int [e^(-x) / sqrt(x) ] dx.
(mit der unteren Grenze 0, der oberen Grenze unendlich).
Mit der Substitution sqrt(x) = u , dx = 2 sqrt(x) du
entsteht
G (½) = 2 int [e^ (- u^2) ] du
in denselben Grenzen
Das Ergebnis ist nach (1) bekannt; für das Integral erhalten
wir den vorausgesagten Wert (3).
PS
Man zeige mit möglichst wenig Rechenaufwand
und auf verschiedene Arten:
Gamma( ½ ) = sqrt(Pi)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
1.
Wir verwenden die für alle p zischen 0 und 1
gültige Beziehung für die Gammafunktion
G(x):
G(p)*G(1-p) = Pi / sin (p*Pi) und setzen
darin p = ½ .
Dann ergibt sich die Behauptung unmittelbar.
2.
In der für die Betafunktion gültigen Relation
B(p,q) = int [x^(p-1) * (1-x) ^(q-1)] dx
(untere Grenze t = 0, obere Grenze t = 1)
setzen wir p = q = ½ ein.
Es entsteht wegen
B(p,q) = G(p) G(q) / G(p+q)
die Beziehung
G(½) ^ 2 = int [1 / sqrt (x – x^2) ] dx
in den genannten Grenzen.
Eine Stammfunktion lautet: arc sin (2x-1) .
Setzt man die Grenzen ein, so kommt
G( ½) ^ 2 = Pi , was zu zeigen war.
Anmerkung
Die erwähnte Stammfunktion gewinnt man etwa
durch die Substitution
2x – 1 = u, damit: 2 dx = du , x = ½ (u +1) etc.
Das wär´s !*
@Klaus
Nachdem wir so viel Schönes gehört haben, wollen wir
dem Integral seinen angestammten Namen zurückgeben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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