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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2403
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 16:45: | 
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Hi allerseits,
Die Vierecksaufgabe 103 bezieht sich auf die
perspektiv affine Abbildung einer Ebene auf sich,
landläufig handelt es sich um eine schief-affine
Abbildung aus der fortgeschrittenen Abbildungslehre.
Die Aufgabe lautet:
Das Parallelogramm A(3/-4),B(6/-8),C(7/-6),D(4/-2)
soll durch eine perspektive Affinität mit der x-Achse
als Affinitätsachse und der Affinitätsrichtung, welche
durch die Steigung m = - 3 der parallelen
Affinitätsstrahlen gegeben ist, auf ein Rechteck
A´ B´ C´ D´ abgebildet werden.
a)
Berechne die Koordinaten der Ecken des Rechtecks.
b)
Die Fläche des Parallelogramms sei F, diejenige des
Rechtecks F*; ermittle das Verhältnis Q = F* / F.
Beachte: es gibt zwei verschiedene Lösungen.
Pro Memoria: zur p-Affinität.
Jedem Punkt der einen Figur (A,B,…) entspricht
ein Punkt der andern Figur (A´,B´…).
Die Punkte der Affinitätsachse entsprechen sich selbst,
sie ist eine Fixpunktgerade.
Die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte sind
parallel : A A´ parallel B B´ (parallele Affinitätsstrahlen);
dies ergibt die sog. Affinitätsrichtung.
´
Die Abbildung ist geradentreu.
Entsprechende Geraden g , g´ schneiden sich
paarweise auf der Affinitätsachse.
In der analytischen Geometrie wird als allgemeine
Affinität eine lineare Transformation mit
den Abbildungsleichungen
x´ = a1 x + b1 y + c1
y´ = a2 x + b2 y + c2
bezeichnet.
Diese Gleichungen können zur Lösung der vorliegenden
Aufgabe herangezogen werden; setze sofort c1 = c2 = 0
(der Nullpunkt ist ja ein Fixpunkt).
Ermittele die 4 Koeffizienten a1, b1 , a2 , b2, indem
Du zuerst den Bildpunkt D´ von D suchst.
Fordere dabei, dass die Geraden A´ D´ und C´ D´
orthogonal sind.
Viel Erfolg bei der Lösung dieser interessanten Aufgabe !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2405
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. August, 2003 - 08:13: |
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Hi allerseits,
die Vierecksaufgabe 103 soll reaktiviert werden.
Zweck der Aufgabe.
sie dient als Einführungsaufgabe für eine Folge
weiterer Probleme der rechnerischen und konstruktiven
Abbildungsgeometrie, ein Gebiet, das in den Schulen der
näheren und weiteren Umgebung eindeutig zu kurz
kommt.
Es folgen ein paar nützliche Hinweise, die zur Lösung
hinführen sollen:
In der analytischen Geometrie wird als allgemeine
Affinität eine lineare Transformation mit
den Abbildungsleichungen
x´ = a1 x + b1 y + c1
y´ = a2 x + b2 y + c2
bezeichnet.
Diese Gleichungen können zur Lösung der vorliegenden
Aufgabe herangezogen werden; setze sofort c1 = c2 = 0
(der Nullpunkt ist ja ein Fixpunkt).
Ermittele die 4 Koeffizienten a1, b1 , a2 , b2, indem
Du zuerst den Bildpunkt D´ von D suchst.
Fordere dabei, dass die Geraden D´ A´ und D´ C´
orthogonal sind, nur so kann das Bildviereck zu einem
Rechteck werden.
Schneide zu diesem Zweck die Originalgeraden DA und DC
mit der Affinitätsachse, also mit der x-Achse.
Die Schnittpunkte seien U und V.
Errichte über der Strecke UV als Durchmesser den Thaleskreis
tau.
Der Bildpunkte D´ von D ergibt sich dann als Schnittpunkt
der Affinitätsrichtung durch D, das ist die Gerade mit der
Steigung -3 durch D, mit dem Kreis tau (zwei Lösungen für D´ ).
Mit dem Paar entsprechender Punkte D, D´ist die Affinität
bestimmt.
Du kannst konstruktiv weiterfahren (Aufg.104) oder rechnerisch.
In den oben zitierten Abbildungsgleichungen lassen
sich aus 4 linearen Gleichungen die Koeffizienten a1,b1,a2,b2
und dadurch die Abbildungsmatrix bestimmen.
Welche Bedeutung hat die Determinante dieser Matrix?
Viel Vergnügen bei der Lösung dieser
interessanten Aufgabe !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 826
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 17:15: |
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Hi megamath,
eine schöne Aufgabe! Ich habe mir in der Kaserne den Kopf zerbrochen! Bis mir gestern abend der Thaleskreis einfiel! Dann war alles schnell geregelt! Und jetzt sehe ich das du die LÖsung schon veröffentlicht hast..., naja hier meine Ergebnisse:
Rechteck 1:
A(1|2) , B(2|4), C(4|3) und D(3|1)
Rechteck 2:
A(2,5|-2,5), B(5,5|-5,5), C(6,25|-3,75) und D(3,75|-1,25)
Flächeninhalt Parallelogramm: 10
FA Rechteck 1: 5 Q(1/2)
Fa Rechteck 2: 6,25 Q(1/8)
Matrix zu 1:
Matrix zu 2:
Die Determinante der Matrix gibt hier jeweils das Verhältniss der Flächeninhalte wieder! Jetzt muss ich wieder weg! Ciao! Bis freitag, dan versuch ich die anderen wenn sie noch nicht gelöst sind!
mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2412
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 18:13: |
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Hi Ferdi,
Du hast mir viele Mühen abgenommen,danke!
Deine Lösung ist einwandfrei,und sie ergänzt meine Angaben aufs beste.
Die von mir zwischen den Zeilen angegebenen Resultate sind unvollständig, insbesondere fehlen bei mir die Abbildungsgleichungen.
Meine Sorge gilt den Belangen der Bundeswehr.
Ich möchte nicht schuld daran sein, wenn ein
Wehrmann wegen mathematischer Gedanken zu sehr abgelenkt ist und die Wehrtüchtigkeit darunter leidet..
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 827
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 19:12: |
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Hi,
deine Sorge ist völlig unberechtigt!
Ich kann ja soviel verraten: Ich bin ABC-Schutzsoldat und damit nicht an fordertser Front. Und was man als ABC-ist wissen muss, is doch eher überschaubar, und wenn die Grundausbildung herum ist, bin ich sowieso arbeitslos, da ich nicht mit einem Atomangriff auf Deutschland rechne und auch nicht ins Ausland komme, da ich nur meinen normalen Wehrdienst leiste(n muss).
Daher kommt es mir gerade recht deine für "Nichtstudierte" doch manchmal recht anspruchsvollen Aufgaben mit zur "Arbeit" zu nehmen!
mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2414
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. August, 2003 - 21:50: |
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Hi allerseits,
Weil diese Vierecksaufgabe so famos gelöst wurde,
gibt es eine Zugabe in Form einer
Zusatzaufgabe.
Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der beiden
Matrizen.
Welche Bedeutung haben diese für die vorliegenden
Affinitäten ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2415
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. August, 2003 - 08:45: |
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Hi allerseits,
Es folgen ein paar Détails (Stationen) zum Lösungsgang
für die Vierecksaufgabe 103.
Gleichung des Affinitätsstrahls g durch D:
g: y = - 3 x + 10
Schnittpunkt U (2,5 / 0) der Geraden CD mit der x-Achse
Schnittpunkt V ( 5 / 0 ) der Geraden AD mit der x-Achse
Gleichung des Thaleskreises k mit Durchmesser UV:
k: 2 x^2 + 2 y ^2 – 15 x + 25 = 0
Schnittpunkte D´ und D´´ von g und k:
D´(3/1), D´´(3,75 / - 1,25)
Ansatz für die Abbildungsgleichungen:
x´= a x + b y , y ´= c x + d y
durch Einsetzen der Koordinaten von D´ bzw. D´´
entstehen die Abbildungsgleichungen
I.
x´= x + ½ y
y´= - ½ y
Determinante der Abbildungsmatrix M: det(M) = - 1/2
II.
x´= x + 1/8 y
y´= 5/8 y
Determinante der Abbildungsmatrix N: det(N) = 5/8.
Die Werte der Determinanten stimmen mit den
Affinitätsverhältnissen der beiden Affinitäten überein;
Zugleich erhalten wir damit die gesuchten
Flächenverhältnisse.
Eigenwerte und Eigenvektoren erscheinen später!
@ Ferdi
Korrektur einiger (weniger) Fehler in Deiner Antwort:
Bildpunkt B´(5 / 5), nicht B(5,5|-5,5),
Quotient Q bei der zweiten Lösung Q = 5/8, nicht
Q(1/8)
PS
ich war neben anderem auch einmal im AC-Schutzdienst
tätig…………
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2431
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 14:45: |
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Hi allerseits
Bitte die Zusatzaufgabe nicht vergessen; sie lautet:
Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der beiden
Matrizen.
Welche Bedeutung haben diese für die vorliegenden
Affinitäten.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 833
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 16:35: |
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Hi,
leider habe ich keine Zeit mich mit den Konstruktionsaufgaben zu befassen, hoffentlich macht dies jemand anderes!
Eigenwert zu Matrix 1:
L=1 und L=(1/2)
Ein Eigenvektor zu L=1 ist (1,0)
Ein Eigenvektor zu L=(1/2) ist (-1,1)
Eigenwert zu Matrix 2:
L=1 und L=(5/8)
Ein Eigenvektor zu L=1 ist (1,0)
Ein Eigenvektor zu L=(5/8) ist (1,-3)
Hier kenne ich nur den Satz aus meiner alten Formelsammlung:
Ist v ein Eigenvektor, so wird jede Gerade g mit Richtungsvektor v in eine zu g parallele Gerade g' agebildet; deshalb heißen die Richtungen der Eigenvektoren Fixrichtungen!
Man erkennt hier immer den Eigenwert L=1 mit Eigenvektor v=(1,0) die x-Achse!
Leider habe ich Wochenenddienst und muss nächste Woche ins Gelände, man sieht sich!
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2433
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. August, 2003 - 18:13: |
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Hi allerseits,
Als Ergänzung stelle ich noch meine Lösung der Zusatzaufgabe
ins Board.
Wir berechnen die Eigenwerte und Eigenvektoren
der beiden Matrizen A und B.
I.
A= [[1, ½ ],[0, - ½ ]] ;
in den eckigen Klammern stehen die Elemente der 1.u.2. Zeile.
Charakteristische Gleichung für die Eigenwerte L:
L^2 – ½ L – ½ = 0
Eigenwerte:L1 = 1, L2 = - ½ .
L1 = 1: der zugehörige Eigenvektor v1 = {1,0} weist in Richtung
der Affinitätsachse, welche mit der x-Achse übereinstimmt.
L2 =- ½: der zugehörige Eigenvektor v2 = {1,-3} weist in Richtung
der Affinitätsstrahlen, Steigung m = -3
II
B= [[1, 1/8 ],[0, 5/8 ]] ;
in den eckigen Klammern stehen die Elemente der 1.u.2. Zeile.
Charakteristische Gleichung für die Eigenwerte L:
(1-L) (5/8- L) = 0
Eigenwerte:L1 = 1, L2 = 5/8 .
L1 = 1: der zugehörige Eigenvektor v1 = {1,0} weist in Richtung
der Affinitätsachse, welche mit der x-Achse übereinstimmt.
L2 = 5/8: der zugehörige Eigenvektor v2 = {1,-3} weist in Richtung
der Affinitätsstrahlen, Steigung m = -3
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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