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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2395
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 07:23: | 
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Hi allerseits,
Es erscheint die Dreiecksaufgabe 37 bis, eine Variante der
Aufgabe 37, die etwas zu einfach strukturiert war.
Sie lautet:
Von einem Dreieck ABC (übliche Bezeichnungen)
ist bekannt:
gamma = 2 * alpha., mehr nicht.
Welche Relation erfüllen die Seiten a, b , c eines
solchen Dreiecks ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 822
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 08:39: |
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Hi,
auch hier mein Vorschlag:
a + b + g = 180°
b = 180° - 3a
Das heißt:
bei A ist der Winkel a
bei B ist der Winkel 180°-3a
bei C ist der Winkel 2a
Wende ich den Sinussatz auf diese Dreick an:
a/sin(a) = b/sin(3a) = c/sin(2a)
erhalte ich:
a : b : c = 1 : ( 3 - 4*sin^2(a) ) : 2*cos(a)
Beispiele:
a=45°
a : b : c = 1 : 1 : Ö2
a=30°
a: b : c = 1 : 2 : Ö3
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2397
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 11:13: |
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Hi Ferdi,
Es ist möglich,die Winkel zu verbannen und eine Relation mit den Seiten allein aufzustellen,.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 823
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 13:02: |
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Hi,
also mir bleibt da nur eine Idee, und zwar die Höhe hc, das scheint mir aber mal wieder zu umständlich.
Es gilt dann sin(a) = hc/b
und hc = (2/c) * Ö(s(s-a)(s-b)(s-c))
Die Relation wird damit zu:
a : b : c =
1 : [3(bc)^2-16s(s-a)(s-b)(s-c)]/(bc)^2 : 2*[(bc)^2-4s(s-a)(s-b)(s-c)]/(bc)^2
Was besseres fällt mir nicht ein...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2398
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 14:00: |
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Hi Ferdi,
Hi Walter,
Ich habe es so gemacht:
I.
c/a = sin(gamma)/sin(alpha) =
2 sin(alpha)cos(alpha) / sin(alpha) = 2 cos(alpha)
II.
b/a = sin(beta)/sin(alpha) =
sin (alpha+gamma) /sin(alpha) =
[sin(alpha)cos(gamma)+cos(alpha)sin(gamma)]/sin ..=
[sin(alpha)cos(2 alpha)+cos(alpha)sin(2 alpha)]/sin…=
cos(2 alpha) + 2 {cos(alpha)}^2 =
2 {cos(alpha)}^2 – 1 + 2 {cos(alpha)}^2 =
4 {cos(alpha)}^2 - 1
III.
I. und II. zusammen:
b / a = [ c / a ] ^2 – 1 oder
a b = c^2 – a^2
°°°°°°°°°°°°°°°
Das ist die gesuchte Relation, winkelfrei ,
senz´angoli, bravissimo!*
Beispiele.
1.
Rechne mit den numerischen Werten aus der Dreiecksaufgabe 37,
die Walter bereitgestellt hat.
2.
alpha = 30°, das Dreieck ist rechtwinklig mit beta = 90°,
mit a = 1 kommen b = 2 und c = sqrt(3).
Die Relation ist erfüllt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2399
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 14:30: |
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Hi Ferdi,hi Walter
Es folgt eine kleine Zusatzfrage:
Sei b/a = x , c/a = y. Auf welcher Ortskurve der (x,y)-Ebene
liegen die Punkte P(x/y) ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 824
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 10:16: |
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Hi megamath,
nach eingehender Beschäftigung mit der Zusatzaufgabe ist es mir nicht gelungen sie zu lösen. Leider habe ich auch keine Zeit mehr, da ich später wieder in die Kaserne muss. Eine Lösung würde mich dennoch interessieren, sonst kann ich diese Woche nicht ruhig schlafen...
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2402
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 11:49: |
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Hi Ferdi.
Damit Du in der Kaserne ruhig schlafen kannst,
ev. auch auf der Wache, sende ich meine
Antwort auf die Zusatzfrage:
Es kommt durch Einsetzen
von b = ax , c = ay in die Relation
a b = c^2 – a^2 sofort
x = y^2 – 1 oder
y^2 = x + 1; (Halb-) Parabel; die Achse der P. ist parallel zur x-Achse
Scheitel S(0/1), nach rechts geöffnet
etc.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 825
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 13:59: |
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Besten Dank megamath.
Das war ja mal so einfach, naja, ich denke erst immer zweimal um die Ecke... Motto: Warum einfach wenn es auch schwer geht  !
Bis in einer Woche dann!
mfg |
