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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2391
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 18:19: | 
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Hi allerseits,
Die Dreiecksaufgabe 38 lautet:
Von einem Dreieck ABC (übliche Bezeichnungen)
sind die Winkel bekannt:
alpha = 40°, beta = 60°, gamma = 80°
Weise nach, dass dann die Relation gilt:
sin (alpha) [sin (alpha) + sin(beta) + sin(gamma) ] =
sin (beta) [sin(beta) + sin (gamma)]
Zusatzaufgabe
Zeige, dass u = sin 20° die kubische Gleichung
4 u ^ 3 – 3 u + ½ sqrt (3) = 0 befriedigt .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 819
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 19:34: |
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Ich löse ganz kurz die Zusatzaufgabe auf die einfach Art(morgen vielleicht eine andere Methode), dann will ich ein paar Freunde Besuchen!
Es gilt (Additionstheoreme!):
sin( 3x ) = 3 * sin(x) - 4 * sin^3(x)
==> -sin( 3x ) = 4 * sin^3(x) - 3 * sin(x)
Die Gleichung wird zu:
-sin( 3x ) + 0,5 * Ö3 = 0
und es gilt (auf Wunsch mit Beweis):
sin( 60° ) = 0,5* Ö3
q.e.d.
mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2393
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 20:00: |
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Hi Ferdi,
Das ist soweit alles richtig !
Der Rest kann warten.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 821
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 08:02: |
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Hi,
zum wach werden habe ich mich am Rets der Aufgabe versucht und mit den Goniometrischen Formeln rumgespielt!
Zunächst:
a=40° , b=60° , g=80°
sin(b)=sin(3a)
sin(g)=sin(2a)
Die Gleichung wird zu:
sin^2(a) + sin(a)*sin(3a) + sin(a)*sin(2a) = sin^2(3a) + sin(2a)*sin(3a)
Daraus wird nach einieger Vereinfachung und benutzung von sin(a)*sin(b) = 0,5*[cos(a-b) - cos(a+b)]
cos(6a) + cos(5a) - cos(4a) - cos(3a) = 0
Hier verwende ich:
cos(a)-cos(b) = -2*sin({a+b}/2)*sin({a-b}/2)
[cos(6a) - cos(3a)] + [cos(5a) - cos(4a)] = 0
Wendet man nun die Formel auf die beiden einzelnen eckigen Klammern an, sieht man: sin(a+b/2) mit a=40° ===> 0!
q.e.d.
mfg
PS Vielleicht ein wenig umständlich, freue mich auf andere Vorschläge! |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2400
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 16:13: |
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Hi Ferdi,
Ich zeige Dir meine Lösung
alpha ist durch a, beta durch b,
gamma durch c ersetzt.
Ich verwende die Beziehung
sin a + sin b + sin c = 4 cos ½ a cos ½ b cos ½ c,
die man leicht (?) separat beweist.
Die linke Seite L der zu beweisenden Relation lautet dann:
L = 4 cos ½ a cos ½ b cos ½ c * sin a.
Nun setzen wir die numerischen Werte ein; es kommt:
L = 4 cos 20° cos 30° cos 40° sin 40°=
4 cos 20° cos 30° cos 40° cos 50°
Das sieht wundervoll aus…………..
Schauen wir uns die Rechte Seite R an:
R = sin b [sin b + sin c)] =
sin(b) 2 sin [ ½ (b+c) ] cos [ ½ (b-c) ] =
2 sin 60°sin 70°cos 10° =
2 cos 30°cos 20°cos 10°, auch schön.
Hebt man links und rechts identische Faktoren weg,
so bleibt links:
L* = 4 cos 40° cos 50° = 2 * 2 cos 40° sin40° =
2 sin 80°
rechts blebt R*:
R* = 2 cos 10°
Übereinstimmung !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2401
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 10:13: |
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Hi Ferdi,
Ich habe die Zusatzaufgabe so gelöst
(ohne die Formel für den Sinus des dreifachen Winkels
zu benützen):
Sei u = sin 20°
sin 60°= sin (20° + 40°) =
sin 20° cos 40° + cos 20° sin 40°, mithin:
½ wurzel(3) = u ( 1 – 2 u^2) + (1 - u^2) 2 u
somit:
4 u ^ 3 – 3 u + ½ wurzel (3) = 0
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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