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Carmen2 (carmen2)
Mitglied
Benutzername: carmen2
Nummer des Beitrags: 21
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. August, 2003 - 14:51: | 
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f(x)= 2- (2e^x)/(1+e^x)
F(x)= 2ln(1+e^x)+2x+C
A (Flächeninhalt)wird im 1.Quadranten von Gf und den Koordinatenachsen eingeschlossen.
Kann mir jemand den Inhalt des Flächenstücks vorrechnen??
Friedrich, deinen Weg habe ich nicht ganz verstanden, wie lautet das Endergebnis jetzt??*danke* |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2371
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 11:13: |
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Hi Carmen,
Ich versuche, Dir die Lösung dieser schönen Aufgabe
verständlich zu machen.
Dazu einige Vorbemerkungen:
I.
Das Resultat : Flächeninalt A = 2* ln 2.
Die untere Grenze ist 0, die obere unendlich, wie Du einer Skizze
des Graphen entnehmen kannst
Letzteres führt dazu, dass man von einem uneigentlichen Integral
spricht. Ein solches Integral ist als Grenzwert des zugehörigen
bestimmten Integrals aufzufassen, dessen obere Grenze gegen
unendlich strebt.
Im vorliegenden Fall existiert dieser Grenzwert und damit das
uneigentliche Integral.
Wir bestimmen diesen Wert unter Punkt IV.
II.
Auch wenn eine Stammfunktion zur freien Verfügung
durch den Aufgabensteller freundlicherweise angegeben wird,
ist es Ehrensache, eine solche Stammfunktion selber zu finden.
Im vorliegenden Fall, nämlich bei der Teilfunktion
g(x) = e^x / (1+e^x) ist der Zähler justement die Ableitung
des Nenners; wenn dem so ist, gewinnst Du eine Stammfunktion
G(x) dadurch, dass Du für G(x) den Logarithmus des Nenners
nimmst.
Also: G(x) = ln (1 + e^x); Kontrolle durch Ableiten !
Auf diese Art gewinnst Du die angegebene Stammfunktion:
F(x) = 2 x – 2 ln (1 + e^x), .
III.
Beachte, dass der Grenzwert der Funktion
F(x) = 2 x – 2 ln (1 + e^x)
für x gegen unendlich (obere Grenze!) null ergibt.
Dies zeigen wir in einer separaten Berechnung unter Punkt
IV in einer Fortsetzung.
Fortsetzung folgt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2372
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 12:13: |
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Hi Carmen,
Die Fortsetzung folgt:
IV.
Der gesuchte Grenzwert für F(x) für x gegen unendlich
lässt sich auf verschiedene Arten berechnen.
Kenner können ihn sogar spontan voraussagen; er ist
null.
Ich wähle die folgende Herleitung, welche lehrreich ist,
wie (fast) alles in der Mathematik.
Substituiere 1 + e ^ x = z, mit x geht dann auch z gegen
unendlich und umgekehrt.
Aus der Substitutionsgleichung entsteht der Reihe nach:
e ^ x = z – 1; x = ln (z-1).
Aus F = F(x) entsteht eine Funktion F* in z:
F* = 2* ln (z-1) – 2 ln z = 2 [ln(z-1) – ln z] = 2 ln [(z-1)/z]
Der Bruch (z-1) / z = 1 – 1 / z strebt gegen 1 für z
gegen unendlich.
Und der log strebt gegen ln 1 = 0 , das Ganze somit auch
gegen null.
Nach diesen Vorbereitungen ist es nicht mehr schwierig,
das Integral zu berechnen; beachte besonders den Wert der
Stammfunktion an der unteren Grenze!
Wir erhalten:
A = F(oo) – F(0) = 0 – [ - 2 ln (1+e^0)] = 2 ln 2
Das minus -- minus ist neckisch, hihi.
Wir sind fertig !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Carmen2 (carmen2)
Mitglied
Benutzername: carmen2
Nummer des Beitrags: 25
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. August, 2003 - 13:14: |
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das ist sehr verständlich! Danke für deine Mühe!!! |
Carmen2 (carmen2)
Mitglied
Benutzername: carmen2
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 10:07: |
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hi H.R.Moser
ich hab doch noch ne kleine Frage zu deiner Ausführung oben und hoffe, du kannst mir helfen...
F* = 2* ln (z-1) – 2 ln z = 2 [ln(z-1) – ln z] = 2 ln [(z-1)/z]
ich verstehe, dass du die 2 ausgeklammert hast und später noch ln, aber wieso steht in der inneren Klammer auf einmal ein Bruch
(z-1)/z?? vorher war es doch eine Subtraktion!?
gruß Carmen |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2373
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 10:50: |
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Hi Carmen,
Die Umformung in der ersten eckigen Klammer
F* = 2* ln (z-1) – 2 ln z = 2 [ln(z-1) – ln z] = 2 ln [(z-1)/z]
zur zweiten eckigen Klammern geht um keine Ecken herum,
sondern beruht auf dem bekannten Logarithmengesetz
log (a / b) = log a – log b ,
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
das in beiden Richtungen gilt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Carmen2 (carmen2)
Mitglied
Benutzername: carmen2
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 07-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 11:09: |
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okay, vielen Dank, den Satz kannte ich nicht! |
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