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Anabel (anabel)
Neues Mitglied Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 20:46: |
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hola!! Hab hier ne Aufgabe, die ich ned verstehe fa(x)= 4xe^(-ax^2) Wie lauten die extrem-und Wendepunkte von Ga?? zur Hilfe: f´(x)= 4e^(-ax^2)*(1-2ax^2) f´´(x)= 8axe^(-ax^2) *(-3+2ax^2) f´´´(x)= -8ae^(-ax^2)*(3-12ax^2+4a^(2)x^4) könnt ihr mir den Rechenweg angeben?? das wäre super!! gruß ana |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 117 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 21:45: |
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Hi Anabel, dann wollen wir doch mal gucken; Zu den Extrempunkten: Damit ein Extrempunkt vorliegen kann, muss gelten: f'(x)=0 <=> 4e^(-ax^2)*(1-2ax^2)=0 Die e-Funktion ist nun immer positiv, sodass man kürzen kann: (1-2ax^2)=0 <=> 2ax^2=1 <=> x^2=1/(2a) <=> x1= sqrt(1/(2a)) oder x2= -sqrt(1/(2a)) Erstmal sieht man, dass extremstellen nur für a>0 eintreten können (sonst steht was negatives unter der Wurzel) Nun musst du nurnoch in die zweite Ableitung einsetzen und gucken, ob das ganze mal 0 werden kann. Wenn das nicht der Fall ist, dann liegt dort ein Extrempunkt vor: Also: f''(sqrt(1/(2a)))= 8a*sqrt(1/(2a))*e^(-a/(2a)) *(-3+2a/(2a)) =8a*sqrt(1/(2a))*e(-1/2)*(-2) Nun sieht man (indem man jeden Faktor einzeln anguckt), dass der Term immer negativ ist, also ein Hochpunkt vorliegt. Nun kann man aus der Punktsymmetrie von f schließen, dass bei x=-sqrt(1/(2a)) ein Tiefpunkt sein muss. Ganz analog kannst du bei den Wnedepunkten vogehen. Wenn du dazu noch Fragen hast, kannst du dich ja nochmal melden. Ich hoffe ich ahbe mich nicht vertan. Gruß, DULL |
Anabel (anabel)
Neues Mitglied Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 5 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 08:38: |
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hey danke! ich würd noch gern wissen, warum die e-Fkt. nun immer positiv ist (s.o.)?? bei den Wendepunkten muss dann f´´=0 sein oder?? |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 118 Registriert: 06-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 08:54: |
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Hi Anabel, ich weiß ja nicht, wie ihr die e-Funktion definiert habt, aber ich versuche es mal ganz anschaulich zu erklären: e ist ja eine positive Zahl (e=2,71828...). Wenn du nun eine positive Zahl mit irgendeiner anderen Zahl potenzierst, dann bleibt sie positiv (beispiele: e^3=e*e*e=20,08...; e^(-2)=1/(e*e)=0,13533..). Für natürliche Zahlen sollte es anschaulich klar sein und für Brüche auch; ergibt sich ja direkt daraus... Für andere reelle Zahlen kann man es sich vorstellen, wenn man sich vorstellt, dass man sie dann ja durch Intervallschachtellung aus Brüchen erhalten kann. Natürlich ist das kein Beweis und mathematisch unbefriedigend, da du aber im Forum für Klasse 12/13 gepostet hast, denke ich, dass das reichen müsste. Und, ja, bei einem Wendepunkt muss f''(x)=0 sein. Gruß, DULL |
Anabel (anabel)
Junior Mitglied Benutzername: anabel
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 09:35: |
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ja, das reicht auch; hab ich verstanden Danke!!! gruß Ana |
Claudia (megasupermausi)
Mitglied Benutzername: megasupermausi
Nummer des Beitrags: 19 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 15:57: |
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ich hab ne schwere Komplexaufgabe, mit der ich so gut wie nix anfangen kann: Gegeben ist die Kurvenschar fa durch fa(X)=X^2*e^(-1/a*x) mit aeR+, xeR. Ka seien die Schaubilder von fa. 2.1 Untersuchen Sie K1 auf Schnittpunkte mit der X-Achse, Hoch-, Tief-und Wendepunkte sowie das Verhalten im Unendlichen! Zeichnen Sie K1 im Intervall -1<x<5 mit 1LE=2cm! 2.2 Weisen Sie nach, dass die Funktion F1 mit F1(x)=e^-x *(-X^2-2X-2) eine Stammfunktion der Funktion f1 ist! Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K1, der X-Achse und der Geraden mit der Gleichung X=4 vollständig begrenzt wird! 2.3 Die Punkte O(0/0), Q(u/0) und P(u/f1(u)) mit 0<u<4 bilden die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird! 2.4 Wie groß muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit der zugehörige Graph der Kurvenschar Ka an der Stelle x0=4 einen Hochpunkt besitzt? An welchen Stellen besitzt diese Funktion fa dann Wendepunkte? (Auf den Existenznachweis für Wendestellen wird verzichtet.) Oh mein Gott, wer kann mir nur helfen?
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 217 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 18:18: |
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2.1 f1(x) = x² * e-x = x² / ex f1'(x) = ( ex * 2x - x² * ex ) / e2x f1'(x) = (2x-x²)ex / e2x f1'(x) = (2x-x²) / ex f1''(x) = [ ex * (2-2x) - (2x-x²) * ex ] / e2x f1''(x) = ( 2 - 2x - 2x + x² ) / ex f1''(x) = ( x² - 4x + 2 ) / ex Schnittpunkte mit der x-Achse : f1(x) = 0 ==> x = 0 Hoch- und Tiefpunkte : f1'(x) = 0 (2x-x²) / ex = 0 2x-x² = 0 ==> x = 0 und x = 2 müssen noch in f'' eingesetzt werden : f1''(x=0) = 2 > 0 ==> Minimum f1''(x=2) = ( 4 - 8 + 2 ) / e² < 0 ==> Maximum Wendepunkte : f1''(x) = 0 ( x² - 4x + 2 ) / ex = 0 x² - 4x + 2 = 0 x = 1/2 * ( 4 +- Wurzel(16-8) ) = 2 +- Wurzel(2) Statt jetzt mit der 3. Ableitung zu rechnen, untersuche ich, ob f1''(x) an ihren Nullstellen ihr Vorzeichen wechselt. Das ist offensichtlich der Fall, weil der Zähler eine Parabel mit zwei Nullstellen ist und der Nenner immer positiv ist. Also sind die beiden x = 2 +- Wurzel(2) Wendestellen. Verhalten im Unendlichen lim f1(x) = lim ( x² / ex ) Für x gegen -oo ergibt sich +oo . Für x gegen +oo gehen Zähler und Nenner beide gegen +oo . Also ist L'Hospital möglich. lim ( x² / ex ) = lim ( 2x / ex ) = lim ( 2 / ex ) = 0 Jetzt würden noch die y-Koordinaten der Extrema und WP fehlen. Hättest du diesen Teil allein geschafft, oder wo sind deine Schwierigkeiten ? |
Claudia (megasupermausi)
Mitglied Benutzername: megasupermausi
Nummer des Beitrags: 20 Registriert: 05-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 07:25: |
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Die Ableitungen hab ich auch hingekriegt, aber den Rest nicht. Danke für deine Hilfe |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 223 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 14:13: |
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2.2 Wenn F1(x) = e-x * (-x²-2x-2) eine Stammfunktion von f1(x) = x² / ex sein soll, dann muss gelten F1'(x) = f1(x) F1'(x) = -e-x * (-x²-2x-2) + e-x * (-2x-2) F1'(x) = e-x * x² hat geklappt. Fläche = Integral von 0 bis 4 f1(x) dx = [ F1(x) ]von 0 bis 4 = F1(4) - F1(0) = e-4 * (-16-8-2) - e0 * (-2) = -26 / e4 + 2 |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 224 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 14:28: |
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2.3 Dreiecksfläche = 1/2 * Grundseite * Höhe = 1/2 * u * f1(u) = 1/2 * u * u² / eu = u³ / 2eu Ableitung nach u ( Quotientenregel ) = ( 2eu * 2u² - u³ * 2eu ) / 4e2u = 2eu * ( 2u² - u³ ) / 4e2u = ( 2u² - u³ ) / eu Die Ableitung soll 0 sein : ( 2u² - u³ ) / eu = 0 | * eu ( 2u² - u³ ) = 0 u² * (2-u) = 0 u=0 ergibt kein Dreieck, bleibt u=2 Die Ableitung ( 2u² - u³ ) / eu = u²(2-u)/eu hat bei u=2 einen Vorzeichenwechsel, weil nur die Klammer das Vorzeichen wechselt. Also hat die Dreiecksfläche dort ein Extremum. Weil die Ableitung vorher positiv und nachher negativ ist, ist es ein Maximum. Also ist u=2 die Lösung. |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 225 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 15:02: |
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2.4 fa(x) = x² * e-1/a*x fa'(x) = 2x * e-1/a*x + x² * e-1/a*x * (-1/a) fa'(x) = x * e-1/a*x * ( 2 - x/a ) Wenn an der Stelle 4 ein Hochpunkt sein soll, dann muss zumindest gelten : fa'(4) = 0 4 * e-1/a*4 * ( 2 - 4/a ) = 0 | : 4 | : e-1/a*4 2 - 4/a = 0 a = 2 ===== f2'(x) = x * e-1/2*x * ( 2 - x/2 ) f2'(x) = e-1/2*x * ( 2x - x²/2 ) f2''(x) = e-1/2*x * (-1/2) * ( 2x - x²/2 ) + e-1/2*x * ( 2 - x ) f2''(x) = e-1/2*x * ( -x + x²/4 + 2 - x ) f2''(x) = e-1/2*x * ( -2x + x²/4 + 2 ) ist nicht ganz fertig und nicht ganz nachgerechnet, muss aber weg. |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 226 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 18:06: |
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Wendepunkte f2''(x) = 0 e-1/2*x + ( 1/4*x² - 2x + 2 ) = 0 1/4*x² - 2x + 2 = 0 x² - 8x + 8 = 0 x = 1/2 * ( 8 +- Wurzel(64-32) ) x = 4 +- 2*Wurzel(2)
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