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Extrem-und Wendepunkte

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Abitur » Sonstiges » Extrem-und Wendepunkte « Zurück Vor »

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Anabel (anabel)
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Neues Mitglied
Benutzername: anabel

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 20:46:   Beitrag drucken


hola!!
Hab hier ne Aufgabe, die ich ned verstehe
fa(x)= 4xe^(-ax^2)
Wie lauten die extrem-und Wendepunkte von Ga??
zur Hilfe:
f´(x)= 4e^(-ax^2)*(1-2ax^2)
f´´(x)= 8axe^(-ax^2) *(-3+2ax^2)
f´´´(x)= -8ae^(-ax^2)*(3-12ax^2+4a^(2)x^4)

könnt ihr mir den Rechenweg angeben??
das wäre super!!
gruß ana
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DULL (dull)
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Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 117
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 21:45:   Beitrag drucken

Hi Anabel,

dann wollen wir doch mal gucken;
Zu den Extrempunkten:

Damit ein Extrempunkt vorliegen kann, muss gelten: f'(x)=0
<=> 4e^(-ax^2)*(1-2ax^2)=0
Die e-Funktion ist nun immer positiv, sodass man kürzen kann:
(1-2ax^2)=0
<=> 2ax^2=1 <=> x^2=1/(2a)
<=> x1= sqrt(1/(2a))
oder x2= -sqrt(1/(2a))

Erstmal sieht man, dass extremstellen nur für a>0 eintreten können (sonst steht was negatives unter der Wurzel)
Nun musst du nurnoch in die zweite Ableitung einsetzen und gucken, ob das ganze mal 0 werden kann. Wenn das nicht der Fall ist, dann liegt dort ein Extrempunkt vor:

Also:
f''(sqrt(1/(2a)))=
8a*sqrt(1/(2a))*e^(-a/(2a)) *(-3+2a/(2a))
=8a*sqrt(1/(2a))*e(-1/2)*(-2)
Nun sieht man (indem man jeden Faktor einzeln anguckt), dass der Term immer negativ ist, also ein Hochpunkt vorliegt.
Nun kann man aus der Punktsymmetrie von f schließen, dass bei x=-sqrt(1/(2a)) ein Tiefpunkt sein muss.

Ganz analog kannst du bei den Wnedepunkten vogehen. Wenn du dazu noch Fragen hast, kannst du dich ja nochmal melden.

Ich hoffe ich ahbe mich nicht vertan.

Gruß, DULL
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Anabel (anabel)
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Neues Mitglied
Benutzername: anabel

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 08:38:   Beitrag drucken

hey danke!:-)
ich würd noch gern wissen, warum die e-Fkt. nun immer positiv ist (s.o.)??
bei den Wendepunkten muss dann f´´=0 sein oder??
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DULL (dull)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull

Nummer des Beitrags: 118
Registriert: 06-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 08:54:   Beitrag drucken

Hi Anabel,

ich weiß ja nicht, wie ihr die e-Funktion definiert habt, aber ich versuche es mal ganz anschaulich zu erklären:
e ist ja eine positive Zahl (e=2,71828...).
Wenn du nun eine positive Zahl mit irgendeiner anderen Zahl potenzierst, dann bleibt sie positiv (beispiele: e^3=e*e*e=20,08...; e^(-2)=1/(e*e)=0,13533..). Für natürliche Zahlen sollte es anschaulich klar sein und für Brüche auch; ergibt sich ja direkt daraus... Für andere reelle Zahlen kann man es sich vorstellen, wenn man sich vorstellt, dass man sie dann ja durch Intervallschachtellung aus Brüchen erhalten kann.

Natürlich ist das kein Beweis und mathematisch unbefriedigend, da du aber im Forum für Klasse 12/13 gepostet hast, denke ich, dass das reichen müsste.

Und, ja, bei einem Wendepunkt muss f''(x)=0 sein.

Gruß, DULL
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Anabel (anabel)
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Junior Mitglied
Benutzername: anabel

Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 01. August, 2003 - 09:35:   Beitrag drucken

ja, das reicht auch; hab ich verstanden Danke!!!
gruß Ana
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Claudia (megasupermausi)
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Mitglied
Benutzername: megasupermausi

Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 15:57:   Beitrag drucken

ich hab ne schwere Komplexaufgabe, mit der ich so gut wie nix anfangen kann:


Gegeben ist die Kurvenschar fa durch
fa(X)=X^2*e^(-1/a*x) mit aeR+, xeR.

Ka seien die Schaubilder von fa.

2.1 Untersuchen Sie K1 auf Schnittpunkte mit der X-Achse, Hoch-, Tief-und Wendepunkte sowie das Verhalten im Unendlichen!
Zeichnen Sie K1 im Intervall -1<x<5 mit 1LE=2cm!

2.2 Weisen Sie nach, dass die Funktion F1 mit
F1(x)=e^-x *(-X^2-2X-2) eine Stammfunktion der Funktion f1 ist!
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von K1, der X-Achse und der Geraden mit der Gleichung X=4 vollständig begrenzt wird!

2.3 Die Punkte O(0/0), Q(u/0) und P(u/f1(u)) mit 0<u<4 bilden die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird!

2.4 Wie groß muss die reelle Zahl a gewählt werden, damit der zugehörige Graph der Kurvenschar Ka an der Stelle x0=4 einen Hochpunkt besitzt? An welchen Stellen besitzt diese Funktion fa dann Wendepunkte? (Auf den Existenznachweis für Wendestellen wird verzichtet.)



Oh mein Gott, wer kann mir nur helfen?
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 217
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. August, 2003 - 18:18:   Beitrag drucken

2.1

f1(x) = x² * e-x = x² / ex

f1'(x) = ( ex * 2x - x² * ex ) / e2x
f1'(x) = (2x-x²)ex / e2x
f1'(x) = (2x-x²) / ex

f1''(x) = [ ex * (2-2x) - (2x-x²) * ex ] / e2x
f1''(x) = ( 2 - 2x - 2x + x² ) / ex
f1''(x) = ( x² - 4x + 2 ) / ex

Schnittpunkte mit der x-Achse : f1(x) = 0 ==> x = 0

Hoch- und Tiefpunkte : f1'(x) = 0
(2x-x²) / ex = 0
2x-x² = 0 ==> x = 0 und x = 2 müssen noch in f'' eingesetzt werden :
f1''(x=0) = 2 > 0 ==> Minimum
f1''(x=2) = ( 4 - 8 + 2 ) / e² < 0 ==> Maximum

Wendepunkte : f1''(x) = 0
( x² - 4x + 2 ) / ex = 0
x² - 4x + 2 = 0
x = 1/2 * ( 4 +- Wurzel(16-8) ) = 2 +- Wurzel(2)
Statt jetzt mit der 3. Ableitung zu rechnen, untersuche ich, ob f1''(x) an ihren Nullstellen ihr Vorzeichen wechselt. Das ist offensichtlich der Fall, weil der Zähler eine Parabel mit zwei Nullstellen ist und der Nenner immer positiv ist. Also sind die beiden
x = 2 +- Wurzel(2) Wendestellen.

Verhalten im Unendlichen
lim f1(x) = lim ( x² / ex )
Für x gegen -oo ergibt sich +oo .
Für x gegen +oo gehen Zähler und Nenner beide gegen +oo . Also ist L'Hospital möglich.
lim ( x² / ex ) = lim ( 2x / ex ) = lim ( 2 / ex ) = 0

Jetzt würden noch die y-Koordinaten der Extrema und WP fehlen.

Hättest du diesen Teil allein geschafft, oder wo sind deine Schwierigkeiten ?
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Claudia (megasupermausi)
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Benutzername: megasupermausi

Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 05-2003
Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 07:25:   Beitrag drucken

Die Ableitungen hab ich auch hingekriegt, aber den Rest nicht. Danke für deine Hilfe :-)
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 223
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 14:13:   Beitrag drucken

2.2
Wenn F1(x) = e-x * (-x²-2x-2) eine Stammfunktion
von f1(x) = x² / ex sein soll, dann muss gelten
F1'(x) = f1(x)

F1'(x) = -e-x * (-x²-2x-2) + e-x * (-2x-2)
F1'(x) = e-x * x² hat geklappt.

Fläche = Integral von 0 bis 4 f1(x) dx
= [ F1(x) ]von 0 bis 4
= F1(4) - F1(0)
= e-4 * (-16-8-2) - e0 * (-2)
= -26 / e4 + 2
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 224
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 14:28:   Beitrag drucken

2.3
Dreiecksfläche = 1/2 * Grundseite * Höhe
= 1/2 * u * f1(u)
= 1/2 * u * u² / eu
= u³ / 2eu
Ableitung nach u ( Quotientenregel )
= ( 2eu * 2u² - u³ * 2eu ) / 4e2u
= 2eu * ( 2u² - u³ ) / 4e2u
= ( 2u² - u³ ) / eu
Die Ableitung soll 0 sein :
( 2u² - u³ ) / eu = 0 | * eu
( 2u² - u³ ) = 0
u² * (2-u) = 0
u=0 ergibt kein Dreieck, bleibt u=2

Die Ableitung ( 2u² - u³ ) / eu = u²(2-u)/eu
hat bei u=2 einen Vorzeichenwechsel, weil nur die Klammer das Vorzeichen wechselt. Also hat die Dreiecksfläche dort ein Extremum. Weil die Ableitung vorher positiv und nachher negativ ist, ist es ein Maximum. Also ist u=2 die Lösung.
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 225
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 15:02:   Beitrag drucken

2.4

fa(x) = x² * e-1/a*x
fa'(x) = 2x * e-1/a*x + x² * e-1/a*x * (-1/a)
fa'(x) = x * e-1/a*x * ( 2 - x/a )

Wenn an der Stelle 4 ein Hochpunkt sein soll, dann muss zumindest gelten :
fa'(4) = 0
4 * e-1/a*4 * ( 2 - 4/a ) = 0 | : 4 | : e-1/a*4
2 - 4/a = 0
a = 2
=====

f2'(x) = x * e-1/2*x * ( 2 - x/2 )
f2'(x) = e-1/2*x * ( 2x - x²/2 )
f2''(x) = e-1/2*x * (-1/2) * ( 2x - x²/2 ) + e-1/2*x * ( 2 - x )
f2''(x) = e-1/2*x * ( -x + x²/4 + 2 - x )
f2''(x) = e-1/2*x * ( -2x + x²/4 + 2 )

ist nicht ganz fertig und nicht ganz nachgerechnet, muss aber weg.
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Georg (georg)
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Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 226
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Samstag, den 09. August, 2003 - 18:06:   Beitrag drucken

Wendepunkte
f2''(x) = 0
e-1/2*x + ( 1/4*x² - 2x + 2 ) = 0
1/4*x² - 2x + 2 = 0
x² - 8x + 8 = 0
x = 1/2 * ( 8 +- Wurzel(64-32) )
x = 4 +- 2*Wurzel(2)

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