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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2335 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 09:20: |
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Hi allerseits, Es folgt das Schlussbouquet des Feuerwerks, die Dreiecksaufgabe 30. Sie ist ziemlich anspruchsvoll, aber anregend; wer löst sie? Beweise: Wenn in einem Dreieck zwischen den Seiten b und c und dem Winkel alpha die Relation b = 4 c * cos [Pi/6 + ½ alpha] * cos [Pi/6 - ½ alpha] besteht, so gilt: alpha = 2 gamma, so einfach ist das. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2344 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 14:14: |
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Hi allerseits, Die Dreiecksaufgabe 30 soll reaktiviert werden! Der Aufgabentext lautet: Beweise: Wenn in einem Dreieck zwischen den Seiten b und c und dem Winkel alpha die Relation b = 4 c * cos [Pi/6 + ½ alpha] * cos [Pi/6 - ½ alpha] besteht, so gilt: alpha = 2 gamma Vielleicht helfen die folgenden Hinweise über die ärgsten Klippen hinweg. Ich habe die Behauptung zur Beziehung sin (gamma) = sin ( alpha – gamma) umgeformt, aus der im vorliegenden Fall gamma = alpha – gamma , d.h. alpha = 2 gamma folgt. Im Laufe der Berechnungen benötigte ich die Beziehung cos u cos v = ½ [cos(u+v) + cos (u-v)] Den Quotienten b /c ersetzte ich gemäß Sinussatz durch sin (beta) / sin (gamma) und so weiter und so fort………… Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2366 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. August, 2003 - 21:13: |
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Hi allerseits, Die Dreiecksaufgabe 30 ist eine der schönsten Aufgabe der Serie. Sie darf daher nicht einfach im Archiv verschwinden. Ich habe sie spontan gelöst, hoffe aber, dass bessere Lösungen präsentiert werden; ich bin für jeden expliziten Vorschlag dankbar und zähle auf eine kurze Inkubationszeit. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2380 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 11:12: |
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Hi allerseits Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 30 benötigen wir die Additions- und Subtraktionstheorema der Sinusfunktion; weiter die erwähnte Formel cos u cos v = ½ [cos(u+v) + cos (u-v)] und die für Dreieckswinkel gültige Relation sin (beta) = sin (alpha + gamma). Zum Einsatz kommt der Sinussatz in der Form b/c = sin (beta) / sin(gamma) Mit Hilfe dieser Formeln lässt sich die Voraussetzung b = 4 c * cos [Pi/6 + ½ alpha] * cos [Pi/6 - ½ alpha] zunächst so schreiben: b = 4 c * ½ [ cos(Pi/3) + cos (alpha)], oder sin (beta) = sin(gamma)* [1 + 2 cos(alpha)], schließlich sin (alpha+gamma) = sin(gamma) +2 sin(gamma)cos(alpha). Die linke Seite L lautet wegen des Additionstheorems L = sin (alpha) cos(gamma) + cos(alpha) sin(gamma). Daher lässt sich die Relation vereinfachen zu sin (alpha) cos(gamma) - cos(alpha) sin(gamma) = sin (gamma), also: sin (alpha –gamma) = sin (gamma) Daraus ziehen wir den Schluss: alpha – gamma = gamma, mithin alpha = 2 gamma, was zu zeigen war. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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