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Dreiecksaufgabe 30: was ich schon imm...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 08. August 2003 Archiviert bis Seite 19 » Dreiecksaufgabe 30: was ich schon immer über Dreieckswinkel wissen wollte VIII « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2335
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 09:20:   Beitrag drucken

Hi allerseits,


Es folgt das Schlussbouquet des Feuerwerks,
die Dreiecksaufgabe 30.

Sie ist ziemlich anspruchsvoll, aber anregend;
wer löst sie?

Beweise:
Wenn in einem Dreieck zwischen den Seiten
b und c und dem Winkel alpha die Relation
b = 4 c * cos [Pi/6 + ½ alpha] * cos [Pi/6 - ½ alpha]
besteht, so gilt:
alpha = 2 gamma, so einfach ist das.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2344
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 14:14:   Beitrag drucken

Hi allerseits,


Die Dreiecksaufgabe 30 soll reaktiviert werden!

Der Aufgabentext lautet:

Beweise:
Wenn in einem Dreieck zwischen den Seiten
b und c und dem Winkel alpha die Relation
b = 4 c * cos [Pi/6 + ½ alpha] * cos [Pi/6 - ½ alpha]
besteht, so gilt:
alpha = 2 gamma

Vielleicht helfen die folgenden Hinweise über
die ärgsten Klippen hinweg.

Ich habe die Behauptung zur Beziehung
sin (gamma) = sin ( alpha – gamma)
umgeformt, aus der im vorliegenden Fall
gamma = alpha – gamma , d.h.
alpha = 2 gamma folgt.

Im Laufe der Berechnungen benötigte ich die
Beziehung
cos u cos v = ½ [cos(u+v) + cos (u-v)]

Den Quotienten b /c ersetzte ich gemäß Sinussatz
durch sin (beta) / sin (gamma)
und so weiter und so fort…………

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2366
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. August, 2003 - 21:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Dreiecksaufgabe 30 ist eine der schönsten
Aufgabe der Serie.
Sie darf daher nicht einfach im Archiv verschwinden.
Ich habe sie spontan gelöst, hoffe aber, dass bessere
Lösungen präsentiert werden; ich bin für jeden
expliziten Vorschlag dankbar und zähle auf eine kurze
Inkubationszeit.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2380
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 11:12:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 30 benötigen wir
die Additions- und Subtraktionstheorema der
Sinusfunktion; weiter die erwähnte Formel
cos u cos v = ½ [cos(u+v) + cos (u-v)]
und die für Dreieckswinkel gültige Relation
sin (beta) = sin (alpha + gamma).
Zum Einsatz kommt der Sinussatz in der Form
b/c = sin (beta) / sin(gamma)
Mit Hilfe dieser Formeln lässt sich die Voraussetzung
b = 4 c * cos [Pi/6 + ½ alpha] * cos [Pi/6 - ½ alpha]
zunächst so schreiben:
b = 4 c * ½ [ cos(Pi/3) + cos (alpha)],
oder
sin (beta) = sin(gamma)* [1 + 2 cos(alpha)],
schließlich
sin (alpha+gamma) = sin(gamma) +2 sin(gamma)cos(alpha).

Die linke Seite L lautet wegen des Additionstheorems
L = sin (alpha) cos(gamma) + cos(alpha) sin(gamma).
Daher lässt sich die Relation vereinfachen zu
sin (alpha) cos(gamma) - cos(alpha) sin(gamma) =
sin (gamma),
also:
sin (alpha –gamma) = sin (gamma)
Daraus ziehen wir den Schluss:
alpha – gamma = gamma,
mithin
alpha = 2 gamma, was zu zeigen war.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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