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Dreiecksaufgabe 29: was ich schon imm...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 08. August 2003 Archiviert bis Seite 19 » Dreiecksaufgabe 29: was ich schon immer über Dreieckswinkel wissen wollte VII « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2334
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 09:15:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Dreiecksaufgabe 29 wird wieder vorausgesetzt.
alpha + beta + gamma = 180°.
Es ist zu zeigen, dass die Relation gilt:
cos(alpha) + cos(beta) - cos(gamma) =
4 cos(½ alpha) cos(½ beta) sin(½ gamma) - 1

MfG
H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2343
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 13:31:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Die Dreiecksaufgabe 29 soll reaktiviert werden!

Der Aufgabentext lautet:
Es wird wieder
alpha + beta + gamma = 180°
vorausgesetzt.

Es ist zu zeigen, dass die Relation gilt:
cos(alpha) + cos(beta) - cos(gamma) =
4 cos(½ alpha) cos(½ beta) sin(½ gamma) - 1


Hinweis: Vielleicht helfen die Beziehungen
cos (gamma) = - cos (alpha + beta)
sin (½ gamma) = cos (½ alpha + ½ beta)


Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2365
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. August, 2003 - 20:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits,


Pro memoria:

Die Dreiecksaufgabe ist immer noch nicht gelöst!
Ich erwarte nicht, dass jemand sich der Mühe goniometrischer Umformungen
unterzieht; das ist zur Genüge geschehen.
Ich schlage vor, dass man hier das wichtige Prinzip anwendet, eine neue
Aufgabe auf eine bereits gelöste zurückzuführen;
in concreto: führe die Dreiecksaufgabe 29 durch eine geeignete Transformation
ohne weitere Umschweife auf die Dreiecksaufgabe 28 zurück.
Wie lautet diese Transformation ?

Prosit und viel Erfolg !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2379
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 08. August, 2003 - 10:11:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Bevor neue Dreiecksaufgaben erscheinen
(vorbereitet sind die Nummern 37 – 42),
sollten die alten gelöst sein.
Lösungen fehlen noch zu den Nummern
29,30,34,35,36.

Ich werde die Lösungen nun sukzessive
ins Board stellen; dies geschieht auch auf
mehrfachen Wunsch von Teilnehmern.



Lösung der Dreiecksaufgabe 29:

Bezeichnungen

alpha wird durch a, beta durch b, gamma durch c
ersetzt.

Vorbereitungen

Benütze folgende Beziehungen:

cos c = - cos (a + b)……………………………….(1)
sin (½ c) = cos [½ (a + b)]…………………………(2)
Die beiden Beziehungen folgen aus der Bedingung
a + b + c = 180°

Wegen (1) und (2) lautet die zu beweisende
Relation:

cos a + cos b + cos (a + b) =
4 cos(½ a) cos(½ b) cos [½(a+b)] - 1………… …(3)

Wir wiederholen das mit der vorhergehenden Aufgabe
erfolgreich praktizierte Lösungsverfahren hier nicht,
das wäre wohl etwas phantasielos.
Wir versuchen vielmehr, die neue Aufgabe auf die
vorhergehende zurückzuführen. Dies gelingt
tatsächlich mit Hilfe einer geeigneten
Substitution.

Man beachte:
die Version der Relation, in der nur die Winkel a und b
auftreten, nicht aber c, ist gültig für beliebige Winkel,
wie die Herleitung bei der Lösung von 28 zeigt;
es sind uns bezüglich der Winkel also keine
Einschränkungen auferlegt.
Wir gehen aus von der bereits bewiesenen Relation
aus Nr.28:
cos a + cos b – cos (a + b) =
4 sin (½ a) sin (½ b) cos [½(a+b)] + 1……… (4)

Wir substituieren so: ersetze a durch a +180°,
b durch b + 180°; dabei passieren gemäß bekannter
Formeln der Goniometrie folgende Umsetzungen:

cos a geht in – cos a über
cos b geht in – cos b über
cos (a+b) geht in cos (a+b) über
sin (½ a) geht in cos (½ a) über
sin (½ b) geht in cos (½ b) über
cos [½ (a+b)] geht in - cos [½ (a+b)] über

Das Alles wenden wir auf (4) an; es entsteht:

- cos a - cos b – cos (a + b) =
4 cos (½ a) sin (½ b){- cos [½(a+b)]} + +
Eine Multiplikation beider Seiten mit -1 ergibt das sehnlich
erwartete Resultat :

cos a + cos b + cos (a + b) =
4 cos(½ a) cos(½ b) cos [½(a+b)] - 1,

was zu zeigen war.

MfG
H.R.Moser, megamath



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