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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2327
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 17:49: | 
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Hi allerseits,
es folgt die Dreiecksaufgabe 23, eine Aufgabe
vom Allerfeinsten, genau wie ihre Nummer.
Ist
alpha + beta + gamma = 180° (Winkelsumme im Dreieck,hihi)
und keiner dieser Winkel 90°, so gilt mit
A = sin(alpha) / [sin(beta) * sin(gamma)] + 1/tan(alpha)
B = sin(beta) / [sin(gamma) * sin(alpha)] + 1/tan(beta)
C = sin(gamma) / [sin(alpha) * sin(beta)] + 1/tan(gamma)
so gilt:
A = B = C, was zu beweisen ist.
Eine Gewissensfrage:
besteht ein Zusammenhang mit der Dreiecksaufgabe 22?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2338
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 19:23: |
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Hi allerseits,
Die Aufgabe 23 gehört wettkampfmässig eher zu den
Küraufgaben, mit denen man Zusatzpunkte sammeln
kann.
Ich löse die Aufgabe vor, damit die an solchen Aufgaben
Interessierten einige Pirouetten der Goniometrie kennen
lernen.
Vorbereitungen
Die Winkel alpha, beta, gamma seien mit a, b , c
bezeichnet.
Die Winkelsumme a + b + c = 180° wird ins Spiel gebracht,
indem wir konsequent sin c durch sin (a + b) ersetzen.
Hilfreich ist die weniger bekannte Formel
sin u * sin v = ½ [ - cos ( u + v ) + cos ( u – v )]
Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir zeigen, dass die Differenz
D = A – B identisch null ist, wobei, wie in der Aufgabenstellung,
die modifizierte Darstellung gilt:
A = sin(a) / [sin(b) * sin(a+b))] + cos (a) / sin(a)
B = sin(b) / [sin(a+b) * sin(a)] + cos (b) / sin (b)
Wir schreiben die Differenz D als einen einzigen Bruch mit dem
Nenner N = sin(a+b) sin (a) sin (b); der Zähler sei Z,
mit dem wir uns ausschließlich beschäftigen und schließlich
zeigen, dass Z = 0 gilt.
Der Rest des Beweises ist dann trivial.
Wir bekommen für Z den Term
Z = (cos b) ^ 2 – (cos a) ^ 2 - T, wobei
T = sin(a+b) * [sin a cos b – cos a sin b] gilt
und so umgeformt wird
(siehe auch die Formel in der Vorbereitung):
T = sin(a+b) sin (a-b) = ½ [- cos 2a + cos 2b ]
½ [ (sin a)^2 – (cos a)^2 + (cos b)^2 - (sin b)^2 ]
Setzt man dies weiter oben ein, so erhält man nach
kurzer Rechnung.
Z = 0, was zu zeigen war.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2341
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 12:13: |
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Hi allerseits
Der soeben bewiesenen Relation werden wir wieder begegnen,
wenn wir die vorhergehende Dreiecksaufgabe 22 lösen werden.
Wir erhalten damit einen interessanten geometrischen Zugang
zu dieser Relation.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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