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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2326
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 17:13: | 
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Hi allerseits,
Es folgt Dreiecksaufgabe 22, eine planimetrische
Aufgabe, die auch elementare Trigonometrie touchiert.
Durch die Ecken A, B und C des Dreiecks ABC werden
je die Senkrechten zu den Seiten AB,BC,CA gezogen.
Diese Lotgeraden schneiden sich paarweise in den Punkten
A*,B*,C* .
Gesucht wird der Quotient der Flächeninhalte der beiden
Dreiecke, ausgedrückt durch Seiten und Winkel des
gegebenen Dreiecks, oder noch schöner:
durch Winkelfunktionen der Innenwinkel des
gegebenen Dreiecks (Seiten im Ausstand).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2346
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 17:13: |
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Hi allerseits,
Es ist höchste Zeit, diese Aufgabe in Angriff zu nehmen
Die Bezeichnungen sind:
Gegebenes Dreieck ABC, übliche Bezeichnungen.
Die Senkrechte zu AB durch A schneidet die Senkrechte
zu CA durch C im Punkt A*.
Die Senkrechte zu BC durch B schneidet die Senkrechte
zu AB durch A im Punkt B*.
Die Senkrechte zu CA durch C schneidet die Senkrechte
zu BC durch B im Punkt C.*
Wie man leicht einsieht, sind die Dreiecke ABC und
A*B*C* ähnlich, da sie paarweise in den Winkeln
übereinstimmen; a und A*,B und B* C und C3
sind homologe Ecken.
Wir berechnen die Seiten a*,b* c* des neuen Dreiecks:
a* ist die Summe der Strecken B*B und BC*, also
a* = c/sin(beta) + a/tan(gamma)
b* ist die Summe der Strecken C*C und CA*, also
b* = a/sin(gamma) + b/tan(alpha)
c* ist die Summe der Strecken A*A und AB*, also
c* = b/sin(alpha) + c/tan(beta)
Das Verhältnis v homologer Seiten gibt uns das lineare
Ähnlichkeitsverhältnis:
v = a* / a = b* / b = c* / c
Wir haben viel gewonnen, unter Anderem haben wir die Gültigkeit
der Relation aus der Dreiecksaufgabe 23 neu hergeleitet,
denn es ist ja dreierlei wahr:
v = a*/a = sin(alpha) / [sin(beta) * sin(gamma)] + 1/tan(alpha)
dabei wurde noch c/a nach dem Sinussatz durch
sin(gamma) / sin (alpha) ersetzt.
v = b*/b = sin(beta) / [sin(gamma) * sin(alpha)] + 1/tan(beta)
dabei wurde noch a/b nach dem Sinussatz durch
sin(alpha) / sin (beta) ersetzt.
v = c*/c = sin(gamma) / [sin(alpha) * sin(beta)] + 1/tan(gamma)
dabei wurde noch b/c nach dem Sinussatz durch
sin(beta) / sin (gamma) ersetzt.
Schließlich erhalten wir für das gesuchte Flächenverhältnis
Q der Dreiecke:
Q = F*/ F = v^2.
Bravo !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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