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Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 168
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 13:02: | 
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hi,
kann mir einer die h-methode erklären, am besten an Hand eines beispiels!?!?!?
Für -+unendlich und für feste werte!
Detlef |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 180
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 18:07: |
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Die h-Methode macht nur Sinn für Grenzwerte, bei denen sich x einem festen Wert nähert. Sie beruht nämlich darauf, dass man der restlichen Entfernung des x vom festen Wert einen Namen gibt, meistens eben h . Also
h = x - x0 wenn x0 ( x Null ) den festen Wert bezeichnet.
Das kann man nach x auflösen
x = x0 + h
und überall für x einsetzen. Unter "lim" steht dann nicht mehr x -> x0 , sondern x0+h -> x0 , was offensichtlich einfach nur h -> 0 bedeutet. |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 170
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 21:11: |
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hi,
warum "was offensichtlich einfach nur h -> 0 bedeutet"??? warum offensichtlich? es ist doch so oder?
haste vielleicht mal ne funktion, wo ich das mal probieren kann?
Detlef |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 186
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 09:32: |
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Berechne ohne Ableitung die Steigung der Parabel y=x² an der Stelle x=2 .
Die Steigung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Zu berechnen ist also der Grenzwert von [ y(x) - y(2) ] / (x-2) für x gegen 2 . |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 111
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 11:07: |
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Oder nach der "h-Methode":
y'(2)= lim(h->0) [y(2+h) - y(2) ] /h
= lim(h->0) [(2+h)^2-2^2]/h
Gruß, Sören |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 171
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 11:58: |
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hi,
also ist f'(2) = lim (h->2)?
und wie ist die allg. schreibweise von der h-methode?
Detlef |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 112
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 12:29: |
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nein, die Ableitung in der "h-Form" an einer beliebigen Stelle x ist folgendermaßen definiert:
f'(x)=lim(h->0) (f(x)-f(x+h))/h
also gilt: f'(2)=lim(h->0) (f(2)-f(2+h))/h
Diese h-Form benutzt man einfach, weil die Umformung damit manchmal leichter ist.
wahrscheinlich kennst du die Form, die Georg oben gebraucht hat:
f'(x0)=lim(x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)
Wenn man dann x=x0+h setzt (also h=x-x0), so ist x->x0 gleichbedeutend mit h->0 und man erhält die h-Form.
Ich hoffe mal, das war einigermaßen verständlich.
Gruß, DULL |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 172
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 12:56: |
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hi,
aber es ist doch so:
f(x)=x² f'(x)=2x für x=2 f'(2)=4
und wenn man sich den graphen anguckt, ist das doch der grenzwert! also lim (x->2)= 4! Das passt doch auch!
wann ist denn die h-methode sinnvoller als der differentialquotient? und wie ist das begründbar, dass man den grenzwert so über das h bestimmen kann? Herleitung?
Detlef |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 113
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 13:30: |
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Moin Detlef,
zuerst zur Herleitung:
Die habe ich oben schon angedeutet.
eigentlich gilt ja:
f'(x0)=lim(x->x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)
nun betrachten wir den Unterschied von x und x0. Den Unterschied bezeichen wir mit h, also: h=x-x0.
Da wir ja den Grenzwert x->x0 betrachten, ist das gleichbedeutend damit, dass h->0 geht (klar, oder?).
Und nun setzen wir einfach ein (für x setzen wir x0+h ein, für x-x0 setzen wir h ein und ändern den Grenzwert wie oben beschrieben).
Dann ergibt sich:
f'(x0)=lim(h->0) [f(x0+h)-f(x0)]/h
Das ist schon alles.
Zur Anwendung:
Ich kann dir leider keinen heißen Tipp geben., wann welche Methode einfacher ist. Das würde ich an deiner Stelle einfach ausprobieren. Du nimmst dir eine Darstellung des Differenzenquotienten vor, versuchst du Ableitung zu finden. Wenn das dann nichts wird, versuchst du es mit der anderen. Manchmal muss man sogar die h-Darstellung verwenden, etwa beim Ableiten der e-Funktion (wenn ich mich recht entsinne).
Das, was du im ersten Teil geschrieben hast, verstehe ich ehrlich gesagt nicht (den Grenzwert wovon meinst du eigentlich?!?). Schreib das doch ncohmal ausführlich auf, damit ich dir besser folgen kann.
Gruß, DULL |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 173
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 16:18: |
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hi,
also ich meine, die funktion f(x)= x² hat an der stelle 2 den grenzwert 4! Und das kann man per ableitung bestimmen!
Die Steigung ist ja auch 4 an der stelle 2!bei welchen funktionen ist das alles so? Und da ist doch nun das so: f'(2) = lim (x->2)= 4!
kann man mit der h-methode gar nicht den grenzwert für +-unendlich bestimmen?
Detlef |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 114
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juli, 2003 - 17:08: |
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Hallo Detlef,
für f(x)=x^2 ist es wirklich so, dass lim(x->2)f(x)=4=f'(2) ist, das ist aber reiner Zufall!! Nimm dir irgendeinen anderen Wert, z.B. x=1; dann gilt: lim(x->1) f(x)=1, aber f'(1)=2.
Die h-Form ist einfach eine andere Form des Differenzenquotienten; man kann mit dieser Form die Ableitung einer Funktion bestimmen, aber keine Grenzwerte dieser Funktion!! Darum hilft dir diese Form auch nicht dabei das Verhalten einer Funktion im Unendlichen zu untersuchen!
Diese h-Form ist der Differenzenquotient, wie du ihn kennst, nur anders aufgeschrieben; nicht mehr und nicht weniger.
Gruß, DULL
PS: "lim (x->2)" ist nichtssagend. du musst noch angeben wovon der Grenzwert gebildet werden soll, also z.B.
lim(x->2) 1/x = 1/2
oder lim(x->2) x^2 = 4 |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 174
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 11:43: |
|
ok,
wenn ich jetzt die Ableitung von f(x)=1/x berechnen will:
[code]
1 1
---- - -----
lim(h->0) x0+h x0
------------------------
h
x0 x0+h
--------- - ----------
(x0+h)*x0 (x0+h)*x0
lim(h->0) ----------------------------------
h
x0-x0+h
-----------------
lim(h->0) (x0+h)*x0*h
[/code]
wie gehts weiter, wie komme ich auf die ableitung?
Detlef |
DULL (dull)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 115
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 12:55: |
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Also, zur Ableitung von f(x)=1/x (ich lass für bessere Lesbarkeit den lim(h->0) weg):
f'(x)=[1/(x+h) - 1/x ]/h | auf gemeinsamen Nenner bringen
= [x-(x+h)]/[h*x*(x+h)]
=-h/[h*x*(x+h)]
=-1/[x*(x+h)]
nun kann man h->0 laufen lassen (also hier h=0 einsetzen):
=-1/[x*x] = -1/x^2
Das wars!
Gruß, DULL |
Detlef (detlef01)
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Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 175
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 17:30: |
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h lässt man gegen null laufen, weil ja der abstand x zu x0 = h = 0 sein soll oder?
detlef |
DULL (dull)
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Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 116
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 17:36: |
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genau! |
Detlef (detlef01)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: detlef01
Nummer des Beitrags: 177
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. August, 2003 - 21:45: |
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alles klar, jetzt habe ich es geschnallt!
Detlef |
