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waschechte Abituraufgabe

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Carmen2 (carmen2)
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Neues Mitglied
Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 11:31:   Beitrag drucken


Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte P (5/1/-2) und Q (1/-1/2), die Gerade g: x= (-1/4/7)+ s (-2/2/-1) (Parameterform) und die Ebene
E: 2x1 +x2 +2x3+ 6=0
Die Gerade durch P und Q heißt h.

a) Der Abstand zwischen P und E beträgt 13/3 LE.
Der Winkel zwischen g und E beträgt 26,4 Grad.
Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, die g enthält und auf E senkrecht steht.

b)Der Schnittpunkt der x3- Achse mit der Ebene ist S(0/0/-3).
Die Ebene E schneidet die Kugel K:
(x-(-2/1/-1))^2 = 9 in einem Kreis k.
Zeige, dass k mit der x3-Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat.
Ermittle eine Gleichung der Tagentialebene an die Kugel K in B.
Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten, die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaten von R.

c) Berechne den Abstand von g und h (Windschiefe Geraden).
Bestimme den Mittelpunkt und Radius der Kugel, die g und h in den Endpunkten eines Durchmessers berührt.

d) Es gibt eine Gerade durch A (6/0/3), die g und h schneidet.
Stelle eine Gleichung dieser Geraden auf.
Nun sei h* eine beliebige Gerade; A und g bleiben fest. Gib eine Lage von h* an, für die es keine Gerade durch A gibt, die g und h* schneidet.

Ganz schön viel, aber ich wäre auch dankbar, wenn jemand das ansatzweise lösen kann (Hauptsache nachvollziehbar;))!!!
}

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Georg (georg)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 176
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 13:24:   Beitrag drucken

a) g ist also nicht parallel zum Normalvektor (2|1|2) der Ebene E . Damit kann ich den Richtungsvektor der Geraden und den Normalvektor der Ebene zum Aufspannen der neuen Ebene benutzen. Mit der Geradengleichung kann ich anfangen, weil die Gerade in der neuen Ebene liegen soll :
x = (-1/4/7) + s(-2/2/-1) + t(2|1|2)
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Georg (georg)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 177
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 14:27:   Beitrag drucken

b1) Der Kreismittelpunkt liegt auf dem Lot vom Kugelmittelpunkt auf die Ebene, hat also den Ortsvektor
(-2/1/-1) + s(2|1|2) = ( 2s-2 | s+1 | 2s-1 )
Außerdem muss er die Ebenengleichung erfüllen :
2(2s-2) + s+1 + 2(2s-1) + 6 = 0 ==> s = -1/9
Also Kreismittelpunkt K( -20/9 | 8/9 | -11/9 )

Weil der Kreis in der Ebene liegt, kommt als gemeinsamer Punkt mit der Geraden nur S(0|0|-3) in Frage. Strecke KS müsste also der Kreisradius sein. Kugelradius, Lotlänge MK und Kreisradius bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
(KS)² = 80/9
(KM)² = 1/9
(KS)² + (KM)² = 9 hat geklappt
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2318
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 16:54:   Beitrag drucken

Hi Carmen II,


Es handelt sich bei Deiner Teilaufgabe c) um die Ermittlung der
so genannten Minimaltransversalen mm der gegebenen
windschiefen Geraden g und h.
Die Gerade mm schneidet g und h je senkrecht,
und zwar g im Punkt L*, h im Punkt N*.
Der Abstand dieser beiden Punkte ist der
kürzeste Abstand d* der beiden windschiefen Geraden.

Herleitung der Minimaltransversalen mm.

Bezeichnungen:

a ist der gegebene Richtungsvektor von g:
a = {-2;2;-1}, L der laufende Punkt auf g, Parameter s.

b ist ein Richtungsvektor von g:
b = {-2;-1;2}, N der laufende Punkt auf h ,Parameter t.

Eine (skalare) Parametergleichung von h lautet:
x = 5 - 2t, y = 1- t, z = -2 + 2t

Wir ermitteln die drei Koordinaten des Verbindungsvektors
v = LN der beiden laufenden Punkte; dieser Vektor ist der
Differenzvektor der Ortsvektoren der Punkte L und N, also:

v = {5–2t – (-1 -2s) ; 1-t –(4+2s) ; -2 + 2 t – (7 – s)},
vereinfacht:
v = {6-2t+2s ; -3 –t-2s; -9 +2t +s }
Da die Transversale mm sowohl auf g als auch auf h senkrecht
steht, sind die beiden folgenden Skalarprodukte null.
v . a = 0
v . b = 0
Es entstehen die folgenden beiden Gleichungen
zur Ermittlung der Parameterwerte s für L und t für N:
- 12 + 4 t - 4 s - 6 – 2t – 4 s + 9 – 2 t – s = 0
- 12 + 4 t - 4 s + 3 + t + 2 s - 18 + 4 t + 2s = 0
vereinfacht:
- 9 – 9 s = 0
- 27 + 9 t = 0

Die Lösungen sind s = - 1, t = 3

Damit erhält man die ausgezeichneten Punkte
L = L*(1/2/8) auf g und N = N*(-1/-2/4) auf h.
Der kürzesten Abstand d* ergibt sich als Abstand
der beiden Punkte:
d* = L*N* = sqrt(4+16+ 16) = 6.
Der gesuchte Durchmesser ist gerade die Strecke L*N*
Der Radius ist somit r = 3, der Mittelpunkt
der Kugel ist M(0/0/6).
Die Gleichung der Kugel ergibt sich daraus unmittelbar

Anm.
Den kürzesten Abstand erhält man auch aus einem Bruch,
in dessen Zähler ein gewisses Spatprodukt und im Nenner
der Betrag eines gewissen Vektorprodukts steht.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Georg (georg)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg

Nummer des Beitrags: 179
Registriert: 08-2000
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 17:06:   Beitrag drucken

b2) Tagentialebene an die Kugel K in B

Ich wähle als Normalvektor Vektor MB = (0|0|-3) - (-2|1|-1) = (2|-1|-2)
Vektorielle Normalform mit B als Aufpunkt
( x - (0|0|-3) ) * (2|-1|-2) = 0
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2319
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 20:13:   Beitrag drucken

Hi Carmen 2,

Letzte Teilaufgabe d), erster Teil

Lösungsstrategie für die erste Frage von d)
A und g bestimmen die Ebene PHI.
Die Gerade h schneidet PHI im Punkt S.
Die gesuchte Gerade t (Transversale) ist die
Verbindungsgerade der Punkte A und S.

Ausführung
Wir ermitteln einen Normalenvektor n der Ebene PHI:
Da die Ebene durch die Punkte U(-1/4/7) und V(-3/6/6)
auf g geht (Kontrolle: setze s = 0 und s = 1),
kann als Normalenvektor das Vektorprodukt der Vektoren
UV = {-2;2;-1} und UA={7;-4;-4} genommen werden;
wir bekommen das
Vektorprodukt n = UV x UA = {-12; -15; -6}= -3{4;5;2}
Gleichung der Ebene PHI :
4 x + 5 y +2 z = d
Phi geht durch A, somit d = 30 durch Einsetzen.
Somit PHI: 4 x + 5 y +2 z = 30

Schnittpunkt PHI mit h durch Einsetzen der skalaren
Parametergleichungen von h, nämlich
x = 5 - 2t, y = 1- t, z = -2 + 2t
in die Gleichung von PHI:
4( 5 - 2t ) + 5 ( 1- t ) + 2 ( -2 + 2t ) = 30
Auflösung nach t liefert t = - 1.
Dies gibt den Schnittpunkt S(7/2/-4)

Eine Parametergleichung der Gerade t = AS lässt sich damit
leicht aufstellen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2320
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 20:28:   Beitrag drucken

Hi Carmen 2

Wir setzen mit h* den Schlusspunkt unter Deine
Monsteraufgabe.
Dieser Punkt ist im wahrsten Sinn des Wortes
unendlich fern!*

Wähle eine Gerade h*, die zu der im vorigen Abschnitt
ermittelten Ebene PHI parallel ist, aber nicht in ihr liegt.
Dann ist kein Schnittpunkt der verlangten Art möglich.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Carmen2 (carmen2)
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Benutzername: carmen2

Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 07-2003
Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 15:12:   Beitrag drucken


danke Georg und H.R, Moser auch für die Lösungen hier...das mit der Minimaltransversalen muss ich mir noch mal durch den Kopf gehen lassen (um es zu verstehen)
mfg Carmen
}
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Steph_5 (Steph_5)
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Benutzername: Steph_5

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2007
Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2007 - 13:19:   Beitrag drucken

Brauche dringend mal Hilfe, soll ein Referat über die 3 Darstellungsformen der Parabelgleichungen halten ??!!! Welche sind die (etwa Scheitelpunktform; Polynomdarstellund und Linearfaktoredarstellung??) Wenn ja wie erkläre ich sie verständlich??

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