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Carmen2 (carmen2)
Neues Mitglied Benutzername: carmen2
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 11:31: |
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Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte P (5/1/-2) und Q (1/-1/2), die Gerade g: x= (-1/4/7)+ s (-2/2/-1) (Parameterform) und die Ebene E: 2x1 +x2 +2x3+ 6=0 Die Gerade durch P und Q heißt h. a) Der Abstand zwischen P und E beträgt 13/3 LE. Der Winkel zwischen g und E beträgt 26,4 Grad. Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, die g enthält und auf E senkrecht steht. b)Der Schnittpunkt der x3- Achse mit der Ebene ist S(0/0/-3). Die Ebene E schneidet die Kugel K: (x-(-2/1/-1))^2 = 9 in einem Kreis k. Zeige, dass k mit der x3-Achse genau einen Punkt B gemeinsam hat. Ermittle eine Gleichung der Tagentialebene an die Kugel K in B. Auf dem Kreis k liegen die Berührpunkte aller Tangenten, die man von einem Punkt R aus an die Kugel K legen kann. Berechne die Koordinaten von R. c) Berechne den Abstand von g und h (Windschiefe Geraden). Bestimme den Mittelpunkt und Radius der Kugel, die g und h in den Endpunkten eines Durchmessers berührt. d) Es gibt eine Gerade durch A (6/0/3), die g und h schneidet. Stelle eine Gleichung dieser Geraden auf. Nun sei h* eine beliebige Gerade; A und g bleiben fest. Gib eine Lage von h* an, für die es keine Gerade durch A gibt, die g und h* schneidet. Ganz schön viel, aber ich wäre auch dankbar, wenn jemand das ansatzweise lösen kann (Hauptsache nachvollziehbar;))!!! }
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 176 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 13:24: |
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a) g ist also nicht parallel zum Normalvektor (2|1|2) der Ebene E . Damit kann ich den Richtungsvektor der Geraden und den Normalvektor der Ebene zum Aufspannen der neuen Ebene benutzen. Mit der Geradengleichung kann ich anfangen, weil die Gerade in der neuen Ebene liegen soll : x = (-1/4/7) + s(-2/2/-1) + t(2|1|2) |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 177 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 14:27: |
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b1) Der Kreismittelpunkt liegt auf dem Lot vom Kugelmittelpunkt auf die Ebene, hat also den Ortsvektor (-2/1/-1) + s(2|1|2) = ( 2s-2 | s+1 | 2s-1 ) Außerdem muss er die Ebenengleichung erfüllen : 2(2s-2) + s+1 + 2(2s-1) + 6 = 0 ==> s = -1/9 Also Kreismittelpunkt K( -20/9 | 8/9 | -11/9 ) Weil der Kreis in der Ebene liegt, kommt als gemeinsamer Punkt mit der Geraden nur S(0|0|-3) in Frage. Strecke KS müsste also der Kreisradius sein. Kugelradius, Lotlänge MK und Kreisradius bilden ein rechtwinkliges Dreieck. (KS)² = 80/9 (KM)² = 1/9 (KS)² + (KM)² = 9 hat geklappt
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2318 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 16:54: |
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Hi Carmen II, Es handelt sich bei Deiner Teilaufgabe c) um die Ermittlung der so genannten Minimaltransversalen mm der gegebenen windschiefen Geraden g und h. Die Gerade mm schneidet g und h je senkrecht, und zwar g im Punkt L*, h im Punkt N*. Der Abstand dieser beiden Punkte ist der kürzeste Abstand d* der beiden windschiefen Geraden. Herleitung der Minimaltransversalen mm. Bezeichnungen: a ist der gegebene Richtungsvektor von g: a = {-2;2;-1}, L der laufende Punkt auf g, Parameter s. b ist ein Richtungsvektor von g: b = {-2;-1;2}, N der laufende Punkt auf h ,Parameter t. Eine (skalare) Parametergleichung von h lautet: x = 5 - 2t, y = 1- t, z = -2 + 2t Wir ermitteln die drei Koordinaten des Verbindungsvektors v = LN der beiden laufenden Punkte; dieser Vektor ist der Differenzvektor der Ortsvektoren der Punkte L und N, also: v = {5–2t – (-1 -2s) ; 1-t –(4+2s) ; -2 + 2 t – (7 – s)}, vereinfacht: v = {6-2t+2s ; -3 –t-2s; -9 +2t +s } Da die Transversale mm sowohl auf g als auch auf h senkrecht steht, sind die beiden folgenden Skalarprodukte null. v . a = 0 v . b = 0 Es entstehen die folgenden beiden Gleichungen zur Ermittlung der Parameterwerte s für L und t für N: - 12 + 4 t - 4 s - 6 – 2t – 4 s + 9 – 2 t – s = 0 - 12 + 4 t - 4 s + 3 + t + 2 s - 18 + 4 t + 2s = 0 vereinfacht: - 9 – 9 s = 0 - 27 + 9 t = 0 Die Lösungen sind s = - 1, t = 3 Damit erhält man die ausgezeichneten Punkte L = L*(1/2/8) auf g und N = N*(-1/-2/4) auf h. Der kürzesten Abstand d* ergibt sich als Abstand der beiden Punkte: d* = L*N* = sqrt(4+16+ 16) = 6. Der gesuchte Durchmesser ist gerade die Strecke L*N* Der Radius ist somit r = 3, der Mittelpunkt der Kugel ist M(0/0/6). Die Gleichung der Kugel ergibt sich daraus unmittelbar Anm. Den kürzesten Abstand erhält man auch aus einem Bruch, in dessen Zähler ein gewisses Spatprodukt und im Nenner der Betrag eines gewissen Vektorprodukts steht. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 179 Registriert: 08-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 17:06: |
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b2) Tagentialebene an die Kugel K in B Ich wähle als Normalvektor Vektor MB = (0|0|-3) - (-2|1|-1) = (2|-1|-2) Vektorielle Normalform mit B als Aufpunkt ( x - (0|0|-3) ) * (2|-1|-2) = 0
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2319 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 20:13: |
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Hi Carmen 2, Letzte Teilaufgabe d), erster Teil Lösungsstrategie für die erste Frage von d) A und g bestimmen die Ebene PHI. Die Gerade h schneidet PHI im Punkt S. Die gesuchte Gerade t (Transversale) ist die Verbindungsgerade der Punkte A und S. Ausführung Wir ermitteln einen Normalenvektor n der Ebene PHI: Da die Ebene durch die Punkte U(-1/4/7) und V(-3/6/6) auf g geht (Kontrolle: setze s = 0 und s = 1), kann als Normalenvektor das Vektorprodukt der Vektoren UV = {-2;2;-1} und UA={7;-4;-4} genommen werden; wir bekommen das Vektorprodukt n = UV x UA = {-12; -15; -6}= -3{4;5;2} Gleichung der Ebene PHI : 4 x + 5 y +2 z = d Phi geht durch A, somit d = 30 durch Einsetzen. Somit PHI: 4 x + 5 y +2 z = 30 Schnittpunkt PHI mit h durch Einsetzen der skalaren Parametergleichungen von h, nämlich x = 5 - 2t, y = 1- t, z = -2 + 2t in die Gleichung von PHI: 4( 5 - 2t ) + 5 ( 1- t ) + 2 ( -2 + 2t ) = 30 Auflösung nach t liefert t = - 1. Dies gibt den Schnittpunkt S(7/2/-4) Eine Parametergleichung der Gerade t = AS lässt sich damit leicht aufstellen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2320 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 20:28: |
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Hi Carmen 2 Wir setzen mit h* den Schlusspunkt unter Deine Monsteraufgabe. Dieser Punkt ist im wahrsten Sinn des Wortes unendlich fern!* Wähle eine Gerade h*, die zu der im vorigen Abschnitt ermittelten Ebene PHI parallel ist, aber nicht in ihr liegt. Dann ist kein Schnittpunkt der verlangten Art möglich. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Carmen2 (carmen2)
Mitglied Benutzername: carmen2
Nummer des Beitrags: 14 Registriert: 07-2003
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Juli, 2003 - 15:12: |
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danke Georg und H.R, Moser auch für die Lösungen hier...das mit der Minimaltransversalen muss ich mir noch mal durch den Kopf gehen lassen (um es zu verstehen) mfg Carmen} |
Steph_5 (Steph_5)
Neues Mitglied Benutzername: Steph_5
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 12-2007
| Veröffentlicht am Sonntag, den 30. Dezember, 2007 - 13:19: |
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Brauche dringend mal Hilfe, soll ein Referat über die 3 Darstellungsformen der Parabelgleichungen halten ??!!! Welche sind die (etwa Scheitelpunktform; Polynomdarstellund und Linearfaktoredarstellung??) Wenn ja wie erkläre ich sie verständlich?? |
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