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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2307 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 06:27: |
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Hi allerseits, Bei der Dreiecksaufgabe 19 kommt eine dreireihige Determinante samt der Determinante ihrer algebraischen Komplemente zur Geltung. Die Aufgabe wird eingeleitet durch die folgenden Angaben: Gegeben sei die dreireihige Determinante D = ([[a1,b1,c1],[a2,b2,c3],[a3,b3,c3]]) In den eckigen Klammern stehen der Reihe nach die Elemente der ersten, zweiten, dritten Zeile. Ak,Bk,Ck sind die algebraischen Komplemente der Element ak, bk , ck für k = 1,2,3. Es gilt etwa: C1 = a2 b3 – a3 b2, C2 = - ( a1 b3 – a3 b1) C3 = a1 b2 -_a2 b1 Voraussetzung: Alle Determinanten Ak,Bk,Ck sind von null verschieden Mit den 9 gegebenen Konstanten als Koeffizienten werde die Gleichungen dreier Graden gebildet: g1: a1 x + b1 y + c1 = 0 g2: a2 x + b2 y + c2 = 0 g3: a3 x + b3 y + c3 = 0 Diese Geraden schneiden sich paarweise in den Punkten A: Schnittpunkt g2 mit g3 B: Schnittpunkt g3 mit g1 C: Schnittpunkt g1 mit g2 a) Drücke die Koordinaten der Schnittpunkte durch Terme auf, in denen ausschließlich algebraische Komplemente von D auftreten. b) dasselbe für den Flächeninhalt des Dreiecks, hier tritt außerdem D selbst auf. Anmerkung Die Aufgabe ist all Denen gewidmet, die heute Geburtstag haben, insbesondere denen, deren Alter in Jahren als Lösung der folgenden Gleichung auftritt: x^3 + x^2 – 2916 x - 2916 = 0 ************* ************* Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2317 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 15:19: |
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Hi allerseits, Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 19 folgen ein paar hilfreiche Hinweise. §1. Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit Hilfe der Regel von Cramer. Dabei tauchen die erwähnten algebraischen Komplemente eo ipso auf: Jede Koordinate ist der Quotient solcher Komplemente. §2 Für die Berechnung des Flächeninhalts kann mit Vorteil die bekannte Formel benützt werden, in der eine dreireihige Determinante auftritt; ihre dritte Spalte enthält lauter Einsen. §3. Um das Resultat für die Fläche in Hochform (zweite Potenz) zu bringen, erinnere Dich daran, wie das Quadrat einer dreireihigen Determinante selbst mit Hilfe algebraischer Komplemente als eine dreireihige Determinante geschrieben werden kann. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2321 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 12:13: |
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Hi allerseits, Es ist an der Zeit, die Dreiecksaufgabe 19 zu lösen. Dies geschieht durch mm himself. §1 Wir ermitteln die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden mit der Regel von Cramer Zuerst kommt der Punkt A an die Reihe, Daten für B und C erhalten wir dann geschenkt durch zyklische Vertauschung. A( xA / yA) : Schnittpunkt von g2 mit g3 . g2: a2 x + b2 y = - c2 g3: a3 x + b3 y = - c3 Wir benötigen die folgenden 3 Determinanten: 1. a2 b3 – a3 b2 ; dies ist die Hauptdeterminante, welche nach Cramer in den Nennern von xA und x B auftritt. Diese Nennerdeterminante stimmt mit dem algebraische Komplement C1 von c1 der gegebenen dreireihigen Determinante D überein. 2 Im Zähler von xA steht die Determinante b2 c3 – b3 c2, dies ist gerade das algebraische Komplement A1 von a1 der gegebenen dreireihigen Determinante D. 3 Im Zähler von yA steht die Determinante - a2 c3 + a3 c2, dies ist gerade das algebraische Komplement B1 von b1 der gegebenen dreireihigen Determinante D. Wir erhalten damit die Koordinaten des Punktes A: xA = A1/C1, yA = B1/C1 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Die Koordinaten der Punkte B und C erhält man am einfachsten Durch zyklische Vertauschung der Koordinaten von A. Ergebnis: xB = A2/C2, yB = B2/C2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° xC = A3/C1, yC = B3/C3 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Fortsetzung folgt MfG H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2322 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 13:13: |
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Hi allerseits Lösung der Dreiecksaufgabe 19, Fortsetzung. §2 Für die Berechnung der Fläche F des Dreiecks ABC aus den Koordinaten xi /yi der Ecken benützen wir die bekannte Formel, in welcher eine dreireihige Determinante auftritt. Es gilt bekanntlich (Maple-Schreibweise): F = ½ det ( [[x1,y1,1],[x2,y2,1],[x3,y3,1]]). Setzt man die im ersten Abschnitt berechneten algebraischen Komplemente für xi und yi ein so erhält man bei Gebrauch gewisser, ebenfalls wohlbekannter Determinantensätze: F=1/(2 C1C2 C3 )*det [[A1,B1,C1],[A2,B2,C2],[A3,B3,C3]] Nun stellt die Determinante der algebraischen Komplemente das Quadrat der Ausgangsdeterminante D dar, sodass wir als Schlussresultat schreiben: F = D ^ 2 / ( 2 C1C2 C3 ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° MfG H.R.Moser,megamath
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