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Dreiecksaufgabe 19 : Dreieck und drei...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 31. Juli 2003 Archiviert bis Seite 17 » Dreiecksaufgabe 19 : Dreieck und dreireihige Determinanten « Zurück Vor »

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2307
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 06:27:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Bei der Dreiecksaufgabe 19 kommt eine dreireihige
Determinante samt der Determinante
ihrer algebraischen Komplemente zur Geltung.

Die Aufgabe wird eingeleitet durch die folgenden Angaben:
Gegeben sei die dreireihige Determinante
D = ([[a1,b1,c1],[a2,b2,c3],[a3,b3,c3]])
In den eckigen Klammern stehen der Reihe nach die
Elemente der ersten, zweiten, dritten Zeile.
Ak,Bk,Ck sind die algebraischen Komplemente
der Element ak, bk , ck für k = 1,2,3.
Es gilt etwa:
C1 = a2 b3 – a3 b2, C2 = - ( a1 b3 – a3 b1)
C3 = a1 b2 -_a2 b1
Voraussetzung:
Alle Determinanten Ak,Bk,Ck sind von null verschieden

Mit den 9 gegebenen Konstanten als Koeffizienten
werde die Gleichungen dreier Graden gebildet:
g1: a1 x + b1 y + c1 = 0
g2: a2 x + b2 y + c2 = 0
g3: a3 x + b3 y + c3 = 0

Diese Geraden schneiden sich paarweise in den Punkten
A: Schnittpunkt g2 mit g3
B: Schnittpunkt g3 mit g1
C: Schnittpunkt g1 mit g2

a)
Drücke die Koordinaten der Schnittpunkte durch Terme auf,
in denen ausschließlich algebraische Komplemente von D
auftreten.
b)
dasselbe für den Flächeninhalt des Dreiecks, hier tritt
außerdem D selbst auf.

Anmerkung
Die Aufgabe ist all Denen gewidmet,
die heute Geburtstag haben, insbesondere denen,
deren Alter in Jahren als Lösung der folgenden Gleichung
auftritt:
x^3 + x^2 – 2916 x - 2916 = 0
************* *************

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.





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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2317
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 15:19:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 19 folgen ein
paar hilfreiche Hinweise.

§1.
Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden
mit Hilfe der Regel von Cramer.
Dabei tauchen die erwähnten algebraischen Komplemente
eo ipso auf:
Jede Koordinate ist der Quotient solcher Komplemente.

§2
Für die Berechnung des Flächeninhalts kann mit Vorteil
die bekannte Formel benützt werden, in der eine dreireihige
Determinante auftritt; ihre dritte Spalte enthält
lauter Einsen.

§3.
Um das Resultat für die Fläche in Hochform (zweite Potenz)
zu bringen, erinnere Dich daran, wie das Quadrat einer
dreireihigen Determinante selbst mit Hilfe algebraischer
Komplemente als eine dreireihige Determinante geschrieben
werden kann.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2321
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 12:13:   Beitrag drucken


Hi allerseits,

Es ist an der Zeit, die Dreiecksaufgabe 19 zu lösen.
Dies geschieht durch mm himself.

§1

Wir ermitteln die Koordinaten der Schnittpunkte der
Geraden mit der Regel von Cramer

Zuerst kommt der Punkt A an die Reihe,
Daten für
B und C erhalten wir dann geschenkt durch zyklische
Vertauschung.

A( xA / yA) : Schnittpunkt von g2 mit g3 .

g2: a2 x + b2 y = - c2
g3: a3 x + b3 y = - c3

Wir benötigen die folgenden 3 Determinanten:
1.
a2 b3 – a3 b2 ; dies ist die Hauptdeterminante,
welche nach Cramer in den Nennern von xA und x B
auftritt. Diese Nennerdeterminante stimmt
mit dem algebraische Komplement C1 von c1 der gegebenen
dreireihigen Determinante D überein.

2
Im Zähler von xA steht die Determinante
b2 c3 – b3 c2, dies ist gerade das algebraische Komplement
A1 von a1 der gegebenen dreireihigen Determinante D.

3
Im Zähler von yA steht die Determinante
- a2 c3 + a3 c2, dies ist gerade das algebraische Komplement
B1 von b1 der gegebenen dreireihigen Determinante D.

Wir erhalten damit die Koordinaten des Punktes A:
xA = A1/C1, yA = B1/C1
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Koordinaten der Punkte B und C erhält man am einfachsten
Durch zyklische Vertauschung der Koordinaten von A.
Ergebnis:

xB = A2/C2, yB = B2/C2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
xC = A3/C1, yC = B3/C3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Fortsetzung folgt

MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2322
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Juli, 2003 - 13:13:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Lösung der Dreiecksaufgabe 19, Fortsetzung.

§2
Für die Berechnung der Fläche F des Dreiecks ABC
aus den Koordinaten xi /yi der Ecken benützen wir
die bekannte Formel, in welcher eine dreireihige
Determinante auftritt.
Es gilt bekanntlich (Maple-Schreibweise):
F = ½ det ( [[x1,y1,1],[x2,y2,1],[x3,y3,1]]).
Setzt man die im ersten Abschnitt berechneten
algebraischen Komplemente für xi und yi ein
so erhält man bei Gebrauch gewisser, ebenfalls
wohlbekannter Determinantensätze:
F=1/(2 C1C2 C3 )*det [[A1,B1,C1],[A2,B2,C2],[A3,B3,C3]]

Nun stellt die Determinante der algebraischen Komplemente
das Quadrat der Ausgangsdeterminante D dar, sodass wir als
Schlussresultat schreiben:

F = D ^ 2 / ( 2 C1C2 C3 )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

MfG
H.R.Moser,megamath

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