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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2301
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 12:00: | 
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Hi allerseits,
Es erscheint die Dreiecksaufgabe 18.
Sie lehnt sich an vorhergehende Aufgaben an.
Sie ist recht schwierig und hat mich lange in Atem
gehalten.
Vielleicht bringen die numerischen Daten gegenüber
dem allgemeinen Fall eine gewisse Erleichterung.
Die Aufgabe lautet.
M sei der Umreismittelpunkt und r der Umkreisradius
des Dreiecks ABC.
f , g, h seien die Abstände des Punktes M von den Seitengeraden
BC, CA, AB (diese Reihenfolge) .
Berechne r bei gegeben Werten von f, g , h für das numerische
Beispiel
f = sqrt(5), g = 3 , h = sqrt(5).
Viel Spaß
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2306
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Juli, 2003 - 17:54: |
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Hi allerseits,
Ein paar Hilfestellungen und Anregungen zur
Dreiecksaufgabe 18 könnten nichts schaden.
Die folgenden Schritte sollten zum Ziel führen:
1.
Drücke alle drei Seiten a, b , c mit Pythagoras
je durch r und f, r und g, r und h aus.
2.
Schreibe im Sehnenviereck MFCG den
Satz von Ptolemäus an und setze für g und f
die gegebenen Werte ein und für a , b , c die
Ergebnisse aus dem vorhergehenden Abschnitt eins.
3.
So entsteht zur Ermittlung von r eine Wurzelgleichung.
Durch eine leicht abenteuerliche Rechnung entsteht
als taugliches Resultat r = 5.
4
Wer sich Einiges zutraut, rechnet dasselbe nochmals
für das Zahlenbeispiel f = 25, g = 39, h = 33.
Man zeige, dass der Umkreisradius r die folgende Gleichung
sechsten Grades erfüllt:
r^6 – 6470 r^4 + 10465225 r^2 - 4140922500 = 0
Auch Pessimisten werden erstaunt sein, dass zwei
taugliche Lösungen für r entstehen;
die eine davon ist sogar ganzzahlig.
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 170
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 13:55: |
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2309
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juli, 2003 - 14:13: |
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Hi Georg,
Meine Anerkennung und ein grosses Bravo!*
Kannst Du mit Deiner Methode auch das
numerische Beispiel,das ich unter Punkt 4.
meiner letzten Ausführungen erwähnte,
bewältigen?
MfG
H.R.Moser,megamath |
Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 172
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 00:19: |
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Nein, aus meiner Wurzelgleichung bekomme ich die Wurzeln nicht weg. Aber deinen Weg habe ich bestätigen können, bis jetzt bis zu der Gleichung sechsten Grades. ( Die fehlende Ptolemäus-Diagonale ergibt sich aus dem Strahlensatz zu c/2 ) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2315
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 13:13: |
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Hi allerseits,
Wir wollen es wagen, in das Rechenabenteuer
einzutauchen, an den Oberflächen ist es so wie so
zu heiß; also ganz cool:
1.
Wir drücken alle drei Seiten a,b,c mit Pythagoras
je durch r und f, r und g, r und h aus:
r^2 = g^2 + ¼ b^2 ,
daraus b = 2 sqrt (r ^ 2 – g ^ 2 ) = 2 sqrt ( r^2 – 9 )
r^2 = h^2 + ¼ c^2 ,
daraus c = 2 sqrt (r ^ 2 – h ^ 2 ) = 2 sqrt ( r^2 – 5 )
r^2 = f^2 + ¼ a^2 ,
daraus a = 2 sqrt (r ^ 2 – f ^ 2 ) = 2 sqrt ( r^2 – 5)
2.
Mit Ptolemäus im Sehnenviereck CGMF
(es gelten die früheren Bezeichnungen: F ist der
Fußpunkt des Lotes von M aus auf BC = a,
G derjenige auf CA = b ; Skizze herstellen !):
g * a/2 + f * b/2 = r * c/2 oder
g a + f b = r c , numerisch:
3 a + sqrt(5) b = r c.
3.
Dies wird verwoben mit den Resultaten aus 1;
als Ergebnis erhalten wir eine Wurzel-Gleichung für r,
nämlich:
3 sqrt ( r^2 – 5) + sqrt(5) sqrt ( r^2 – 9 ) = r sqrt ( r^2 – 5 )
Nach erstmaligem Quadrieren entsteht:
4 r^2 (r^2–5)-56 r^2+360 - 24sqrt (r^2-5) sqrt (r^2 -9) sqrt(5) = 0
oder vereinfacht:
4 r^4 – 76 r^2 + 360 - 24 sqrt (r^2-5) sqrt (r^2 -9) sqrt(5) = 0
Immer noch liegt eine Wurzelgleichung vor;
der Kenner und die Kennerin kennen das.
Separation der Wurzeln und nochmaliges Quadrieren
und Zusammenfassen führt auf eine Gleichung achten
Grades in r :
16 r^8 – 608 r^6 + 5776 r ^4 - 14400 r^2 = 0
Alle Koeffizienten sind durch 16 teilbar,
ein zahlentheoretisches Phänomen.
Nach Abspalten von r^2 und der Substitution
r^2 = Y (sic) verbleibt die Gleichung dritten Grades in Y:
Y^3 - 38 Y ^ 2 + 361 Y – 900 = 0
Die Lösungen sind ebenfalls ganzzahlig:
Y1 = 25, Y2 = 9 , Y3 = 4
(Y hat gute Dienste geleistet, daher „Groß Y“ !*)
Für r gibt es nur eine Lösung: r = 5, denn r muss
größer als jeder der gegebenen Werte f, g ,h sein
Wir sehen: mit r = 3 liegt (ein nicht tauglicher)
Grenzfall vor.
So weit,so gut.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2316
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 28. Juli, 2003 - 14:13: |
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Hi Georg
Im allgemeinen Fall ergibt sich tatsächlich eine Gleichung
sechsten Grades in r.
Zur Abkürzung setzen wir
f ^ 2 + g ^ 2 + h ^ 2 = Q ^ 2 und
(f * g * h) ^ 2 = P ^ 2, so entsteht zur Berechnung von r die
folgende Gleichung:
r ^ 6 – 2 * Q ^ 2 * r ^ 4 + Q ^ 4 * r ^ 2 - 4 * P ^ 2 = 0
Für das zweite Beispiele erhalten wir damit die angegeben
Gleichung mit zwei tauglichen Lösungen:
r1 = 65 und r2 = ½ * [ 65 + sqrt( 265)] ~ 40,64
Eine Herleitung dieser Formel ist noch offen, ebenfalls
die Determination und eine allfällige konstruktive Lösung.
Wer kann das alles besorgen?
Quellenangabe
Es ist an der Zeit, die Herkunft der Aufgabe anzugeben.
Ich habe sie in meinem Leibblatt, dem Bulletin des
Vereins Schweizerischer Mathematik - und Physiklehrer,
entnommen.
Der Text ist französisch und lautet:
Étant donné trois nombres positifs d, e et f ,
on cherche les côtés d´un triangle pour lequel
ces nombres sont les distances des côtés au
centre du cercle circonscrit.
Die Fragen lauten:
Combien y a-t-il de solutions? (wie viele Lösungen gibt es ?)
Peut-on construire une solution? (kann man eine Lösung konstruieren?)
Wer hilft weiter?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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