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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2291
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 23:00: | 
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Hi allerseits
Die Dreiecksaufgabe 16 ist noch schöner als ihre
Vorgängerin, mit ihr nahe verwandt, aber eine Stufe schwieriger
zu rechnen.
Daher möchte ich dringend raten, zuerst die Aufgabe 15 zu lösen,
und dort tabula rasa zu machen, bevor man sich mit 16 abgibt.
Die Lösung zu 15 wird demnächst erscheinen.
Bei 16 geht es um den so genannten Satz von E.J. Routh (1896)
über Teilverhältnisse bei Dreiecksseiten.
Der Einfachheit halber wollen wir den Fall eines allgemeinen
rechtwinkligen Dreiecks behandeln.
Die Aufgabe lautet:
In einem cartesischen Koordinatensystem ist ein allgemeines
rechtwinkliges Dreieck in besonderer Lage gegeben:
A(0/0),B(c/0/),C(0/b).
Auf den Seitengeraden AB, BC, CA liegen die Teilpunkte
L, M, N, die der Reihe nach mit den Eckpunkten als
Grundpunkte die folgenden Teilverhältnisse bilden:
p = AL/BL, q = BM/CM, r = CN/AN .
Wiederum sind diese Werte für Teilpunkte L, M, N,
die im Innern einer Dreieckseite liegen, negativ,
andernfalls positiv.
Die Teilpunkte L, M, N werden der Reihe nach je mit den
Gegenecken des Dreiecks ABC verbunden.
Damit ergeben sich die Verbindungsgeraden
g1 = MA, g2 = NB, g3 = LC
Diese Geraden umschliessen das Dreieck P1 P2 P3,
dessen Flächeninhalt mit F* bezeichnet werde.
F1 sei wieder der Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Beweise Satz von Routh (in diesem Sonderfall):
F* / F1 = (p q r +1) ^ 2 / [(pq - p+1) (qr - q +1)(rp - r+1)]
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamaht
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 820
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 14:37: |
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Hallo Megamath,
ein wahrhaft toller Satz, dieser Satz von Routh.
In unserer altbekannten Fundgrube, und zwar hier findest du einen Beweis, wenn auch mit etwas anderen Bezeichnungen.
Ich freue mich, das du ebenfalls die Dreiecksaufgaben "wiederbelebt" hast.
Vieleicht gibt es ja noch mehr solcher netten Säte.
mit den besten Grüßen
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2297
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 15:13: |
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Hi allerseits,
Hi Niels
Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 16.
Eine Zwischenbemerkung.
Diese Aufgabe ist bis jetzt noch nicht eigenständig gelöst
worden.
Eine gestellte Aufgabe in zahlReich zu lösen, heisst nach
meiner Ansicht nicht, dass auf Abhandlungen in Büchern
über das entsprechende Gebiet verwiesen wird und dass die
einschlägigen Lösungen kopiert und tel quel ins Netz gestellt
werden, mögen sie noch so gut und interessant sein.
Diese Methode bringt jedoch dem Leser nicht viel!
Der Studierende erlebt dadurch einen Lösungsgang nur indirekt,
und er wird in den meisten Fällen einfach darüber hinweg lesen.
Vielmehr soll der Studierende erleben, wie eine Aufgabe hier
und jetzt gelöst wird, in statu nascendi sozusagen , mit viel
Mühe.
@Niels
Im vorliegenden Fall hast Du auf das vorzügliche Geometriebuch
von Eckard Specht hingewiesen und auch die richtigen Stellen
daraus kopiert. Die Lösung ist famos!
Nun ist Eckard Specht selber in Mathematik-Foren tätig, und ich
weiss nicht, ob es opportun ist, aus seinem Werk Abschnitte
zu kopieren und in zahlReich zu veröffentlichen.
Ich möchte Dir raten, solches eher zu unterlassen.
Ein persönliches Engagement ist immer noch besser und viel
schöner als ein Link.
Ansonsten könnten wir in zahlReich auf Antworten ganz verzichten
und schlicht und einfach auf Google verweisen.
Meine Kritik soll aufbauend sein, und sie ist nicht böse gemeint.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 822
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 16:48: |
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Hallo Megamath,
ich habe dir gerade eben an deine e- Mail Adresse (megamath@zahlreich.de) eine e- Mail mit einer ausführlichen Stellungnahme meinerseits zu deinen obigen Bemerkungen geschickt. Ich würde mich über eine Antwort deinerseits freuen! Entweder im Forum oder eben per e- Mail.
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2304
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 16:13: |
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Hi allerseits,
Lösung der Dreiecksaufgabe 16
Da die Rechenarbeit ziemlich umfangreich ist, sollen nur
die wichtigsten Zwischenresultate notiert werden.
Benötigt werden ein sicherer Umgang mit Teilverhältnissen und
Kenntnisse über die Berechnung einer dreireihigen Determinante.
Wir setzen weiter voraus, dass die Determinantenmethode
zur Ermittlung des Flächeninhaltes eines durch die Koordinaten der
Ecken bestimmten Dreiecks bekannt ist; dies Methode ist für die
Lösung der Dreiecksaufgaben 15 und 16 charakteristisch und soll
besonders gepflegt und dem Leser bestens empfohlen werden.
Wie bei der Dreiecksaufgabe 15 erhalten wir die Koordinaten
der Teilpunkte L,M,N.
Die Resultate sind sogar noch etwas einfacher, da die
Konstante a jetzt null ist.
Ergebnis:
Teilpunkt L : xL = p c / (p-1), yL = 0
Teilpunkt M : xM = - c / (q-1), yL = q b / (q-1)
Teilpunkt N : xL = 0 , yN = - b / (r-1)
Gleichungen der Verbindungsgeraden
g1 = AM : q b x + c y = 0
g2 = BN : b x – c y (r – 1 ) = b c
g3 = CL : b (p-1) x + p c y = p b c
Diese Angaben lassen sich leicht überprüfen!*
Die Geraden liefern paarweise die folgenden Schnittpunkte:
g2 geschnitten mit g3 gibt P1:
Koordinaten :
x1 = c p r / [p + (p-1)(r-1)]
y1 = b / [p + (p-1)(r-1)]
g3 geschnitten mit g1 gibt P2:
Koordinaten :
x2 = c p / [(p – 1) – p m]
y2 = - p q b / [(p – 1) – p m]
g1 geschnitten mit g2 gibt P3:
Koordinaten :
x3 = c / [1 + q(r - 1)]
y3 = - q b / [1 + q(r - 1)]
Diese 6 Koordinaten werden in die genannte Determinante
eingesetzt und noch 3 Einsen dazu.
In der ersten Zeile stehen x1,y1 und 1 als Elemente,
in der zweiten Zeile stehen x2,y2 und 1 als Elemente,
In der dritten Zeile stehen x3,y3 und 1 als Elemente.
Resultat einer erfolgreichen Berechnung der
Determinante, ev.mit Maple :
c b (p q r +1)^2 / [(pq – p +1) (qr - q +1)(rp – r +1)]
Dies stellt die doppelte Fläche F* des Dreiecks
P1 P2 P3 dar.
Sie muss noch durch die doppelte Fläche F1 = b c des Dreiecks
ABC dividiert werden
Auf diese Weise entsteht das Schlussergebnis.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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