| Autor |
Beitrag |
    
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2288
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 11:19: | 
|
Hi allerseits,
Es erscheint die Dreiecksaufgabe 15, eine Rechenaufgabe
mit besonderem Reiz.
Im rechtwinkligen Koordinatensystem ist ein allgemeines
Dreieck ABC in besonderer Lage gegeben:
A(0/0),B(0/c),C(a/b).
Auf den Seitengeraden AB, BC, CA liegen die Teilpunkte
L, M, N, die der Reihe nach mit den Eckpunkten als
Grundpunkte die folgenden Teilverhältnisse bilden:
p = AL/BL, q = BM/CM, r = CN/AN .
Beachte, dass diese Werte für Teilpunkte L, M, N,
die im Innern einer Dreieckseite liegen, negativ sind,
andernfalls positiv.
F1 sei der Flächeninhalt des Dreiecks ABC, F2 derjenige des
Dreiecks LMN.
Beweise den viel sagenden Satz:
F2 / F1 = (p q r – 1) / [(p-1)(q-1)(r-1)]
Viel Profit !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2289
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juli, 2003 - 16:13: |
|
Hi allerseits
Zur Dreiecksaufgabe 15, die es in sich hat,
gibt es noch eine Zusatzaufgabe, die auch beantwortet
werden kann, ohne dass die Hauptaufgabe gelöst wird.
Man übernimmt von der letzteren einfach das Ergebnis.
Die Zusatzaufgabe lautet:
Die Punkte L,M,N liegen so, dass sie alle dasselbe
Teilverhältnis t mit den entsprechenden Grundstrecken
AB, BC, CA bilden.
Wie ist t zu wählen, damit das Flächenverhältnis F2 : F1
den Wert 1 : 3 annimmt?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2292
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 07:33: |
|
Hi allerseits,
Zur Dreiecksaufgabe 15 gibt es eine Korrektur und
eine weitere Zusatzaufgabe.
Die Korrektur betrifft die Angabe der Koordinaten des
gegebenen Punktes B:
die x –Koordinate ist c, die y-Koordinate 0.
Also muss es richtig heissen: B(c/0) und nicht B(0/c)
Zusatzaufgabe:
Man suche nach einer geometrischen Begründung,
warum der Flächeninhalt F2 des Dreiecks
LMN nicht von a, der Abszisse des Punktes C,
abhängt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2293
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 09:19: |
|
Hi allerseits,
Zur Lösung der Dreiecksaufgabe 15
Da die Rechenarbeit ziemlich umfangreich ist, sollen nur markante
Zwischenresultate notiert werden.
Benötigt werden ein sicherer Umgang mit Teilverhältnissen und
Kenntnisse über die Berechnung einer dreireihigen Determinante.
Wir setzen weiter voraus, dass die Determinantenmethode
zur Ermittlung des Flächeninhaltes eines durch die Koordinaten der
Ecken bestimmten Dreiecks bekannt ist.
L(x1/y1) teilt die Seite AB im Verhältnis p;
somit gilt p = AL/BL = x1 / (x1-c), daraus
x1= p c / (p-1) ;
eo ipso y1 = 0
M(x2/y2) teilt die Seite BC im Verhältnis q;
somit gilt q = BM/CM = (x2-c) / (x2-a), daraus
x2= (q a – c) / (q-1);
analog:
q = BM/CM = y2 / (y2-b) . daraus
y2 = q b / (q-1)
N(x3/y3) teilt die Seite CA im Verhältnis r;
somit gilt r = CN/AN = (x3-a) / x3, daraus
x3= - a / (r-1) ;
analog:
r = CN/AN = (y3- b) / y3 . daraus
y3 = - b / (r-1)
Nun sind alle 6 Koordinaten der Ecken im Dreieck
LMN bekannt.
Die doppelte Fläche 2 F2 dieses Dreiecks lässt sich
mit Hilfe einer Determinante D so berechnen
D = det ([[x1,y1,1],[x2,y2,1],[x3,y3,1]])
In den drei innern eckigen Klammern stehen
der Reihe nach die Elemente der ersten, zweiten
und dritten Zeile der Determinante.
Die dritte Spalte besteht also aus lauter EINSEN.
Bemerkungen
1.
Die Determinante kann erfolgreich händisch ermittelt werden.
Als nützliche Übung: Entwicklung nach der ersten Zeile.
2.
Da wir anderswo zeigen, dass der Wert der Determinante
nicht von a abhängt, setzt der Kluge a = 0 ein,
bevor er rechnet.
3.
Der noch Klügere setzt Maple ein.
Resultat
2* F2 = D = b c (p q r – 1) / [(p-1)(q-1)(r-1)]
Dividiert man dies durch 2 F1 = bc, so erhält man das
angekündigte Schlussresultat:
F2 / F1 = (p q r – 1) / [(p-1)(q-1)(r-1)]
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2294
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juli, 2003 - 11:51: |
|
Hi allerseits,
Ich bedaure sehr, dass bis jetzt noch keine Antworten
auf die beiden Zusatzaufgaben vorliegen, die ich
im Zusammenhang mit der Dreiecksaufgabe 15 gestellt habe.
Ferienstimmungen jeglicher Art sollten kein Hindernis sein,
im Gegenteil.
Ich wiederhole die Fragen
Die Zusatzaufgabe I lautet:
Die Punkte L, M, N liegen so, dass sie alle dasselbe
Teilverhältnis t mit den entsprechenden Grundstrecken
AB, BC, CA bilden.
Wie ist t zu wählen, damit das Flächenverhältnis
Q = F2 : F1 den Wert 1 /3 annimmt?
Hier geht es darum, eine Gleichung dritten Grades
aufzulösen und die Lösungen zu interpretieren.
Warum sind nicht alle drei Lösungen tauglich?
Skizziere den Graphen der Funktion Q = Q(t)
Die Zusatzaufgabe II lautet:
Man suche nach einer geometrischen Begründung,
warum der Flächeninhalt F2 des Dreiecks
LMN nicht von a, der Abszisse des Punktes C,
abhängt.
Vom algebraischen Standpunkt aus gesehen, ist
die Frage schnell beantwortet: man studiere
eingehend den Bau der genannten Determinante.
Es kann auch nützlich sein, die Determinante
als Funktion von a anzusehen und sie nach a
abzuleiten.
Für die geometrische Beurteilung denke man an
eine bekannte Abbildung und deren Eigenschaft
bezüglich homologer Flächeninhalte.
Viel Erfolg wünscht
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2296
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Juli, 2003 - 14:13: |
|
Hi allerseits,
Immer noch liegen keine Antworten
auf die beiden Zusatzaufgaben vor, die ich im
Zusammenhang mit der Dreiecksaufgabe 15 gestellt habe.
Auch in Ferienzeiten sollte ein Minimum an mathematischer
Leistung aufgebracht werden, damit alles fit bleibt.
Die Zusatzaufgaben eignen sich bestens dafür.
Nach meiner früheren Herleitung lautet die allgemeine
Lösung:
F2 / F1 = (p q r – 1) / [(p-1)(q-1)(r-1)]
Ich wiederhole die Fragen.
Die Zusatzaufgabe I lautet:
Die Punkte L, M, N liegen so, dass sie alle dasselbe
Teilverhältnis p = q = r = t mit den entsprechenden
Grundstrecken AB, BC, CA bilden.
Wie ist t zu wählen, damit das Flächenverhältnis
Q = F2 : F1 den Wert 1 /3 annimmt?
Hier geht es darum, eine Gleichung dritten Grades
aufzulösen und die Lösungen zu interpretieren.
Warum sind nicht alle drei Lösungen tauglich?
Hilfreich ist eine Skizze des Graphen der Funktion
Q = Q(t) .
Die Zusatzaufgabe II lautet:
Man suche nach einer geometrischen Begründung,
warum der Flächeninhalt F2 des Dreiecks
LMN nicht von a, der Abszisse des Punktes C,
abhängt.
Vom algebraischen Standpunkt aus gesehen, ist
die Frage schnell beantwortet: man studiere
eingehend den Bau der genannten Determinante.
Es kann auch nützlich sein, die Determinante
als Funktion von a anzusehen und sie nach a
abzuleiten.
Für die geometrische Beurteilung denke man an
eine bekannte Abbildung und deren Eigenschaft
bezüglich entsprechender Flächeninhalte von
Bild- und Originalfigur.
Guten Erfolg wünscht
H.R.Moser, megamath
|
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 823
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 09:51: |
|
Hi Megamath,
zu Zusatzfrage I:
Wenn ich dich richtig verstehe, dann entnehme ich deinen Angaben:
F2 / F1 = (p q r – 1) / [(p-1)(q-1)(r-1)]
1/3=(t³-1)/(t-1)³
und das ist eine hübsche Gleichung 3. Grades.
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2299
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 10:54: |
|
Hi Niels,
Du hast die Fragestellung bei der Teilaufgabe I
richtig verstanden.
Die erwähnte kubische Gleichung lautet bruchfrei so:
2 t ^ 3 + 3 t ^ 2 - 3 t – 2 = 0.
Wir erkennen t = 1 als eine erste Lösung: t1 = 1.
Durch Polynomdivision mit (t-1) erhält man als
Quotient das Polynom zweiten Grades in t :
2 t^2 + 5 t + 2 mit den Nullstellen t2 = - 2 , t3 = - ½
Kommentar:
Der erste Wert t1 ist auszuschliessen; das entsprechende
Teilverhältnis plus 1 gehört zum unendlich fernen Punkt
einer Dreiecksseite.
Die beiden andern t-Werte sind tauglich und liefern je
Teilpunkte im Innern einer Dreieckseite.
Die Lösung der Teilaufgabe II wird bald erscheinen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2305
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 18:13: |
|
Hi allerseits,
Zur Teilaufgabe II
Die Ableitung einer Determinante soll am Beispiel einer
dreireihigen Determinante gezeigt werden:
Gegeben sei eine Determinante D = D(x),
deren Elemente ai, bi, ci (i =1,2,3) in den drei Zeilen Funktionen
von x sind; die Determinante soll nach x abgeleitet werden.
Situation:
in der ersten Spalte stehen die Elemente a1(x),a2(x),a3(x)
in der zweiten Spalte stehen die Elemente b1(x),b2(x),b3(x)
in der dritten Spalte stehen die Elemente c1(x),c2(x),c3(x)
Die ersten Ableitungen dieser Funktionen nach x werden, wie üblich,
mit einem Akzent gekennzeichnet.
Die Ableitung D´(x) besteht dann aus einer Summe von drei
dreireihigen Determinanten D1,D2,D3:
D1: in der ersten Spalte stehen der Reihe nach a1´,a2´, a3´,
die zweite und dritte sind unverändert, es stehen dort die bi und ci wie in D.
D2: in der zweiten Spalte stehen der Reihe nach b1´,b2´, b3´,
die erste und dritte sind unverändert, es stehen dort die ai und ci wie in D.
D3: in der dritten Spalte stehen der Reihe nach c1´,c2´, c3´,
die erste und zweite sind unverändert, es stehen dort die ai und bi wie in D.
Dieser Satz kann im vorliegenden Fall benützt werden,
indem a als Variable aufgefasst wird wird.
D = D(a) führt sofort auf D´(a) = 0
Daraus ziehen wir den Schluss, dass D nicht von a abhängt.
Geometrische Interpretation der Unabhängigkeit des Flächeinhalts
von a.
Man überzeuge sich davon, dass die genannte Abbildung
eine spezielle perspektive Affinität ist, eine so genannte Scherung:
die Affinitätsachse ist die x-Achse, die Affinitätsrichtung
verläuft parallel dazu.
Diese Abbildung lässt den Flächeninhalt invariant.
Damit ist Vieles geklärt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
