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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 807
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 22:11: | 
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Hi,
wir haben bei unseren Sommerlochaufgaben einen Typ von Aufgaben ganz vernachläßigt, das darf nicht sein!
Die Stochastik hat auch seine Reize...
Leider bin ich die nächsten Tage auf Geländeeinsatz (im Wald!!), also hier schon mal ein paar Aufgaben von mir! Viel Spass damit im Sommerloch!
Gegeben sei die Funktionsschar:
ft = x^2 * e^-(x/t) { t > 0 }
a) Bestimme t so, das ft auf R+ Dichte ist!
Rechne nun mit dem aus a) bestimmten t weiter!
b) Die Zufallsvariable X habe die Dichte ft. Bestimme P(X³3)!
c) Berechnen sie den Erwartungswert von X!
Lösungen erwünscht, meine gibt es frühestens nach meiner Rückkehr vom Geländeeinsatz nächsten Freitag!
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 810
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 11:37: |
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Hi,
hier bin ich wieder frisch entarnt aus dem Wald !
Leider muss ich feststellen, das Stochastik doch nicht der Renner ist.
Besteht überhaupt noch Interrese an den Lösungen, ansonsten werde ich mir die Mühe nicht machen und sie hier abtippen(muss nämlich viel Schlaf nachholen)!
mfg |
Niels (niels2)
Senior Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 824
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 14:10: |
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Hi Ferdi,
die Lösungen würden mich sehr interessieren. Ansonsten kennst du ja meine Einstellung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
mfg
Niels |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2303
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Juli, 2003 - 15:24: |
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Hi Ferdi,
Zur Stelle,bravo!
Danke für Deine Rückmeldung !
Was die Sommerlochaufgaben aus der
Stochastik betrifft,würde das Allen gut tun
Ein solches Unterfangen wäre sicher nützlich .
Ich würde die Angelegenheit eher verschieben,sondt tanzen wir auf zu vielen Hochzeiten.
Jedebnfälls kann ich mich wegen anderweitigen
Beanspruchungen nicht daran beteiligen.
Die Zeit,die bleibt,verwende ich lieber für eine konzentriere Beschäftigung mitGeometrie.
Der Nachholbedarf all überall in dieser Sparte ist enorm.
Die Lösungen Deiner Aufgaben würden mich gleichwohl interessieren.
Sie sind in meinem Archiv gut aufgehoben.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 811
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 26. Juli, 2003 - 12:27: |
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Hi,
hier also meine Lösungen zu W1. Wenn genug Zeit da ist wird die Serie fortgesetzt...
1.) Der Kenner sieht sofort das hier eine stetige Verteilung vorliegt(hier fließt sehr viel Analysis mit ein, im Gegensatz zur diskreten Verteilung), die Dichtefunktion auf R+ ist definiert als:
ò0 ¥ f(x) dx = 1 (f(x)³0)
Man erinnere sich an den schönen Satz: Die Summer aller Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung ist 1!
Diese Formel sagt eigentlich schon alles!
Nehmen wir nun unsere Funktionsschar ft und rechnen wie vorgeschrieben:
ò0 ¥ 0,5 * x^2 * e^-(x/t) dx = 1
Die Rechnung sei dem Leser überlassen, nach zweimaliger partieller erhält man t=1!
2.) Die Wahrscheinlichkeit P(X³3) kann über die Verteilungfunktion F(x) berechnet werden, wobei gilt F(x)=ò0 x f(t) dt!
Also in unserem Fall, zwei Möglichkeiten:
P(X³3)=1-P(X<3)
ò0 3 0,5 * x^2 * e^-(x) dx ~ 0,57681
Also P(X³3)=0,42319!
Man hätte auch direkt ò3 ¥ f(x) dx berechnen können! Man erhält das selbe Ergebniss!
3.) Nun fehlt uns nur noch der Erwartungswert der Zufallsvariablen X! Auch hier hilft wieder die Integralrechnung!
Der Erwartungswert ist definiert als:
E(X) = ò0 ¥ x * f(x) dx
Der geneigte Leser erhält diesmal nach dreimaliger(!) partieller Integration, das wunderschöne Ergebniss E(X)=3!
Alles bisher verständlich oder noch Fragen? Dann löse ich später, nach dem Zeitfahren der Tour de France W2, eine meine Lieblingsaufgaben...
mfg |
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