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VA 20 : Quadrat und Parabel

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 22. Juli 2003 Archiviert bis Seite 15 » VA 20 : Quadrat und Parabel « Zurück Vor »

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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 810
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 18:13:   Beitrag drucken

Es folgt VA: 20 eine Vierecksaufgabe ebenfalls mit Analysisbezug. Sollte nicht so schwer sein die Aufgabe!

In einem kartesischen Koordinatensystem sei ein Quadrat ABCD gegeben. Die Seite AB liege auf der Geraden y = x + 8. Die Punkte C und D befinden sich auf der Parabel y = x².

Zu berechnen ist die Seitenlänge des Quadrates.

viel Spaß beim lösen.

mfg

Niels

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Tamara (spezi)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi

Nummer des Beitrags: 153
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 21:54:   Beitrag drucken

Ich habe etwas, habe aber viel rumgewurschtelt und kriege zwei Ergebnisse raus:

A(a|8+a)
B(b|8+b)
C(c|c²)
D(d|D²)

vektorAB=(b-a, b-a)
vektorCD=(d-c, d²-c²)

da vektorAB=VektorCd
d-c=d²-c²=(d-c)(d+c)
d-c ist nicht null, also
d+c=1
d=1-c

D(1-c|1-2c+c²)

vektorCD = (1-2c, 1-2c)

=> 1 - 2c = b - a
1 + a = b + 2c

vektorAC=(c-a, c²-8-a)
|vektorAC|=sqrt((c-a)² + (c²-8-a)²)

vektorAC*vektorAB = 0 (da senkrecht)
(c-a)*(b-a)+(c²-8-a)*(b-a)=0
(b-a)*(c-a+c²-8-a)=0
c-a+c²-8-a=0
a=1/2c² + 1/2c - 4

|vektorAB| = sqrt(2*(b-a)²)= sqrt(2)*(b-a)
= sqrt(2) * (1 - 2c)

obiges a in
|vektorAC| = sqrt(1/2c^4-c³-15/2c²+8c+32)

|vektorAC| = |vektorAB| (da ja alle Seiten gleich lang sind)

c1 = -1, c2 = -5

für c= -1 habe ich eine Seitenlänge von 3*sqrt(2), für c= -5 eine von 11*sqrt(2)

Tamara

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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 811
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 22:46:   Beitrag drucken

Hi Tamara,

"Eine Kompliziertere Lösung der Aufgabe ist kaum vorstellbar, aber sie ist richtig!"

Das war mal ein Kommentar meines Mathelehrers bei einer meiner Arbeiten, und dieser Satz passt auch bei deiner Lösung dieser Aufgabe.

Die Seitenlängen stimmen, dein Rechenweg dorthim scheint mir aber etwas umständlich zu sein.

Ich werde Morgen abend mal einen anderen Weg präsentieren- wenn es recht ist.

bis dahin.

glückwunsch Tamara!

mfg

Niels
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 816
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 21:56:   Beitrag drucken

kümmere ich mich morgen drum.
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 818
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 12:13:   Beitrag drucken

Hi Tamara, hier ist ein anderer Rechenweg:

Zunächst leiten wir eine allgemeine Abstandsformel für parallel liegende Geraden ab. Gegeben seien die Geraden g1 und g2 mit dem Anstieg m. Die Koordinaten u und v bezeichnen die Schnittpunkte mit der y- Achse.

g1: y=m*x+u
g2: y=m*x+v

Die zu g1 senkrecht stehende Gerade g3 im Schnittpunkt mit der y- Achse lautet:

g3: y=(-1/m)x+u

Wir suchen jetzt den Schnittpunkt zwischen g2 und g3.

g2=g3
=>
m*x+v=(-1/m)*x+u
xs=[m*(u-v)]/[m²+1]

und für ys ergibt sich:

ys=[m²*(u-v)]/[m²+1]+u

Der Abstand beider Geraden ergibt sich aus der Punktabstandsformel zwischen
P1(0|u)und P2(xs|ys):

d=sqrt[(xs-0)²+(ys-u)²]=sqrt[(u-v)²/(1+m²)]

Nach diesen vorbereitenden Arbeiten, wollen wir nun das oben gestellte Problem lösen. Die Schnittpunkte C, D zwischen der Gerden g2 und der Parabel lauten:

xc=0,5*[m-sqrt(m²+4v)]
xd=0,5*[m+sqrt(m²+4v)]

Die zugehörigen y- Koordinaten ergeben sich zu:

yc=0,25*[m-sqrt(m²+4v)]²
yd=0,25*[m+sqrt(m²+4v)]²

Die Strecke CD ist die gesuchte Quadratseite:

d=sqrt[(xd-xc)²+(yd-yc)²]=sqrt[(1+m²)(m²+4v)]

Wir haben nun eine zweite unabhängige Gleichung zur Bestimmung der Quadratseite hergeleitet. Aus der Lösung beider Gleichungen erhalten wir für v zwei Lösungen :

v1=2+4m²+2m4+u-(1+m²)sqrt(4+9m²+4m4+4u)
v2=2+4m²+2m4+u+(1+m²)sqrt(4+9m²+4m4+4u)

Mit den Werten aus der Aufgabenstellungen m = 1, u = 8 erhalten wir:

v1=2,d1=3*sqrt(2)
v2=30;d2=11*sqrt(2)
========================================


mfg

Niels
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Tamara (spezi)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: spezi

Nummer des Beitrags: 156
Registriert: 10-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 19:09:   Beitrag drucken

Hallo Niels,

der Rechenweg ist hier bedeutend leichter,
aber auch da muss man erst mal draufkommen!!

Tamara
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Niels (niels2)
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Senior Mitglied
Benutzername: niels2

Nummer des Beitrags: 821
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juli, 2003 - 19:20:   Beitrag drucken

Hi Tamara,

da hast du wohl recht, aber du hast ja die Aufgabe sowieso richtig gelöst. Der Rechenweg ist dann zweitrangig, nur das Ergebnis zählt!

mit den besten Grüßen

Niels

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