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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2276
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 20:45: | 
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Hi allerseits,
Hier kommt die Vierecksaufgabe VA 17,
die ich der Aufgabe von Ferdi nachbilde;
man soll es nie bei einem noch so instruktiven
Beispiel bewenden lassen, sondern ich möchte
aus didaktischen Gründen sofort nachdoppeln!*
In einem ganz bestimmten Punkt ist die neue Aufgabe
etwas anspruchsvoller. Warum sollte man die Ansprüche
nicht steigern dürfen?
Im allgemeinen Punkt P(u/v) einer Kurve y = f(x) wird
die Tangente t gelegt, welche die y-Achse im Punkt B
schneidet. Die Parallele zur y-Achse durch P schneidet die
x-Achse in A.
F* sei der Flächeninhalt des Trapezes PAOB;
er stimmt mit der Fläche des Quadrates mit der
Seitenlänge v überein.
Bestimme die Schar der Kurven, für welche dies zutrifft.
Insbesondere ist diejenige Kurve zu bestimmen, welche
durch den Punkt MM(3/1) geht.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2282
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 22:13: |
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Hi allerseits,
Es ist an der Zeit, dass die Vierecksaufgabe anderer Art,
VA 17, von Grund auf gelöst wird.
Wir modifizieren die Aufgabe ein wenig,
indem wir postulieren:
die Fläche des Trapezes PAOM ist gleich der Hälfte der
Quadratfläche v^2.
Diesmal geht’s in medias res (zur Sache!),
und wir verzichten von Anfang an auf die Variabeln u, v ;
wir schreiben statt dessen sofort x, y.
Wir erhalte die Fläche F Fläche F des Trapezes aus der
Höhe x des Trapezes und den Parallelseiten y durch P
und y – s auf der y-Achse, wobei s = x* y´ gilt,
wie man leicht sieht.
Es kommt:
F = [½ * (y + (y-s)] * x = [½ * (y + (y – x y´)] * x
y´ ist die erste Ableitung der gesuchten Funktion
y = y(x) im Punkt P.
Unser Ziel besteht darin, eine Differentialgleichung
für y = y(x) aufzustellen.
Das gelingt sehr leicht, wenn wir die Bedingung für die
Fläche F des Trapezes realisieren:
F = ½ * Quadratfläche = ½ y^2.
Daraus entspringt die Dgl.:
2 x y – x^2 y ´= y^2
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir lösen die Gleichung nach y´ auf und bekommen:
y ´= [ 2 x y – y ^2 ] / x^2 oder
dy / dx = 2 y / x – (y/x)^2
Dieser bekannte Typus legt die Substitution nahe:
y / x = t mit der neuen unabhängigen Variablen t.
Wir leiten y = x t mit der Produktregel nach x ab
und erhalten:
y ´= t + x t ´ oder mit Differentialen:
dy/dx = t + x dt/dx
Dies setzen wir alles in die Dgl. ein.
Es kommt:
t + x dt/dx= 2 t – t^2, vereinfacht:
x dt/dx = t – t^2;die Variablen t und x lassen sich
trennen:
dt / ( t – t ^ 2 ) = dx / x.
Partialbruchzerlegung der linken Seite
[1/ t – 1/(t-1) ] dt = dx / x
Jetzt ist alles bereit zur Integration; mit C als
Integrationskonstante schreiben wir:
ln t – ln ( t – 1 ) = ln x – ln C
Also:
ln [t / (t-1) = ln (x/C), somit
t (t-1) = x / C oder
C t / ( t - 1 ) = x.
°°°°°°°°°°°°°°°°
als ein gewichtiges Zwischenresultat.
Wir ersetzen darin t durch y/x und lösen nach y auf
Es kommt (am 19.7.!*):
y = x^2 / (x+C) , BRAVO, wieder eine Hyperbelschar
Fortsetzung folgt, hihi !*
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2283
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 10:43: |
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Hi allerseits,
In meiner Lösung der genmanipulierten
Vierecksaufgabe VA 17 vom 19.Juli haben
sich am Schluss ein paar Tippfehler (TF)
eingeschlichen.
Dieser Abschnitt soll jetzt neu geschrieben
und die Schar der Lösungskurven
diskutiert werden
Von Genmanipulation habe ich gesprochen, weil
solche Aufgaben keine natürlichen Vierecksaufgaben
mehr sind und somit nicht in die Kategorie der
VA gehören.
Das Kuckucksei hat Ferdi gesetzt, auch eine Art
Geländeübung: Auffüllung von Sommerlöchern.
Derartige Aufgaben gehören in die Sparte der
Anwendungen der Differentialgleichungen in der
analytischen Geometrie.
Zurück zur Aufgabe:
Jetzt ist alles bereit zur Integration; mit C als
Integrationskonstante schreiben wir:
ln t – ln ( t – 1 ) = ln x – ln C
Also:
ln [t / (t-1)] = ln (x/C), somit
t / (t-1) = x / C oder
C t / ( t - 1 ) = x.
°°°°°°°°°°°°°°°°
Wir ersetzen darin t durch y/x und lösen nach y auf.
Es kommt:
y = x^2 / (x+C)
Dies ist eine unecht gebrochene rationale Funktion.
Wir zerlegen sie in eine ganze und eine echt gebrochene
rationale Funktion.Resultat:
y = x – C + C^2 / (x+C)
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Kurzinterpretation
Schreibt man die Gleichung der Schar bruchfrei, so erkennt
man, dass eine Gleichung zweiten Grades in x,y vorliegt.
Es handelt sich somit um Kegelschnitte, die wegen des Auftretens
des Gliedes xy gedreht sind.
Da die Kurven Asymptoten haben, liegt eine Schar Hyperbeln vor.
vertikale Asymptote: x = - C
schiefe Asymptote: y = x – C
Soll eine Lösungskurve durch MM(3/1) gehen,
so ist C = 6 zu wählen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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