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VA 15 : Eine Trapez aus einer Kurve

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Archiviert bis 20. Juli 2003 Archiviert bis Seite 14 » VA 15 : Eine Trapez aus einer Kurve « Zurück Vor »

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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 805
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 13:08:   Beitrag drucken

Hi,

ich möchte auch mal so eine nette Aufgabe stellen! Also hier VA 15, eher aus dem Bereich Analysis!


Gesucht sind die Gleichungen aller Kurven in der xy-Ebene mit folgender Eigenschaft :

Legt man in einem beliebigen Kurvenpunkt P die Kurvennormale n und die Parallele p zur x-Achse, so bilden die beiden Geraden zusammen mit den Koordinatenachsen ein Trapez.

Dieses Trapez soll für jeden Kurvenpunkt P(u/v) den Inhalt 3*u*v haben (u, v ungleich 0).

Geben Sie zuerst die allgemeine Lösung an und dann die Gleichung derjenigen Lösungskurve, die durch den Punkt (2/2) geht.

Geben sie die Hauptcharakteristiken dieser Kurve an!

mfg

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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1289
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 16:52:   Beitrag drucken

... -y'/y = 1/(4x) .... y = K/4teWurzel(x)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2273
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 19:30:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

Die allgemeine Lösung besteht nach meiner Sicht
der Dinge aus einer Schar Hyperbeln in der üblichen
Hauptlage mit Mittelpunkt im Ursprung und mit
feststehenden Asymptoten.

Ob das stimmt, weiss ich nun nicht genau, da ich
die Aufgabe auf einem Fetzen Papier im Schwimmbad
gelöst habe.
Dazu kommt, dass Friedrich mich noch mehr verunsichert.

Ich wage aber doch, eine Zusatzaufgabe zu stellen.
Die Fläche des Trapezes sei k * u v.
Wie muss k gewählt werden, damit eine Schar gleichseitiger
Hyperbeln entsteht?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Ferdi Hoppen (tl198)
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Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 806
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 22:19:   Beitrag drucken

Hi,

megamath ich stimme dir zu! Die Schar der Hyperbeln habe ich auch als Ergebniss!

Leider bin ich im Moment nicht in der Lage groß zu rechnen, denoch habe ich meine Rechung überflogen und sage:

Für k > 1 entsteht so eine Schar von Hyperbeln!

Bei Gelegenheit werde ich meine Lösung ins Board stellen!

mfg
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2278
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 22:39:   Beitrag drucken

Hi Friedrich,

Bei der Lösung der Aufgabe gehst Du von einer falschen Dgl. aus.
Diese lautet richtig so:
y y´= 4 x ; schreibe dafür 2 y y´ = 8 x ,
und Du bist ganz nahe am Ziel.

MfG
H.R.Moser,megamath

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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2279
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 22:47:   Beitrag drucken

Hi Friedrich,

Vielen Dank für die Zustellung der Herleitung!*
Wir werden den Fehler schon finden.
Morgen,mit frischen Kräften.

Mit freundlichen Grüssen
Hans Rudolf Moser
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1290
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 13:44:   Beitrag drucken

o.k., ich riskier noch eine Falsche Lösung:

es sind also

x = eine Parallelseite, "obere", = u
y = höhe = v
y = -d/y', "untere" Parallelseit = x + d
d = -y*y'
somit
Fläche = 3*y*x = y*(x + (x+d))/2

6*x = 2x - y*y'
4*x = -y*y'

y' = -4x/y;

ohne mich lange um die DGL zu bemühen
nutze ich die Ableitung der Elipse

[(b/a)*Wurzel(a²-x²)]' = -x*(b/a)/Wurzel())
also
ist für Elipse y = (b/a)*Wurzel(a²-x²)

y' = -x*(b/a)²/y,
damit ist
y' = -4x/y eine Elipse (um 90° aus der Hauptlage gedrehte )mit mit b/a = 2 also

y = 2*Wurzel(a²-x²),
für
y(2) = 2 also 1 = Wurzel(a²-1); a = Wurzel(2)

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2281
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 20:19:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

Es ist an der Zeit, dass die Vierecksaufgabe anderer Art,
VA 15 von Ferdi, von Grund auf gelöst wird.

Die Normale n im Kurvenpunkt P(u/v) hat die
Gleichung
y – v = - 1 / y´ * (x-u) ; sie schneidet die x-Achse
im Punkt A; wir berechnen die x-Koordinate xA
von A:
xA = u + y´v.
y´ ist die erste Ableitung der gesuchten Funktion
y = y(x) im Punkt P.
Unser Ziel besteht darin, eine Differentialgleichung
für y = y(x) aufzustellen.
Das gelingt sehr leicht, wenn wir die Bedingung für die
Fläche F des Trapezes realisieren
Einerseits erhalten wir für F aus dem Produkt
Mittellinie mal Höhe.
F = [u + ½ y ´v ] * v , andrerseits gilt nach Vorschrift
F = 3 u v.
Daraus entspringt die Dgl.:
y´v = u
Jetzt ist es höchste Zeit, statt u, v besser x und y
zu schreiben.
Die Dgl. lautet:
y y´ = 4 x oder 2 y y ´= 8 x
Man kann direkt integrieren und bekommt mit C
als Integrationskonstante
y ^ 2 = 4 x ^ 2 + C
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Bedingung, dass die Lösungskurve durch den Punkt
(2/2) gehen soll, liefert den Wert C = -12 ,
sodass die partikuläre Lösung lautet:
4 x^2 – y^2 = 12; das ist eine Hyperbel
mit den Halbachsen a = sqrt(3) , b = 2* sqrt(3).
Die Scheitel liegen auf der x- Achse .
Gleichungen der Asymptoten y = (+-) 2 x.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


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H.R.Moser,megamath (megamath)
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Benutzername: megamath

Nummer des Beitrags: 2284
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 11:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits; Hi Friedrich

Ergänzung zur Aufgabe VA 15
Es ist reizvoll, wie bereits angedeutet, die Aufgabe dahin
zu verallgemeinern, dass die Fläche des Trapezes mit dem
Produkt k u*v übereinstimmen soll, wobei k eine
von eins verschiedene positive Konstante ist.
Wir wählen mit voller Absicht k <1, etwa k = 1/3.
Wir stellen mit einer gewissen Genugtuung fest, dass
die Schar der Lösungskurven durch eine Ellipsenschar
repräsentiert wird.

Wir setzen ein mit der Herleitung der Dgl.:
F = [u + ½ y ´v ] * v = 1/3 u * v
Wir setzen noch x für u (ein x für ein u) und y für v.

Die Dgl. lautet:
y y´ = - 4/3 x oder 2 y y ´= - 8/3 x
Man kann direkt integrieren und bekommt mit C
als Integrationskonstante
y ^ 2 = - 4/3 x ^ 2 + C
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Die Bedingung, dass die Lösungskurve durch den Punkt
(3/1) gehen soll, liefert den Wert C = 13 (hihi) ,
sodass die partikuläre Lösung lautet:
4 x^2 + 3 y^2 = 39; das ist eine Ellipse
mit den Halbachsen a = ½ sqrt(39) , b = sqrt(13)..

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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