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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 805 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 13:08: |
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Hi, ich möchte auch mal so eine nette Aufgabe stellen! Also hier VA 15, eher aus dem Bereich Analysis! Gesucht sind die Gleichungen aller Kurven in der xy-Ebene mit folgender Eigenschaft : Legt man in einem beliebigen Kurvenpunkt P die Kurvennormale n und die Parallele p zur x-Achse, so bilden die beiden Geraden zusammen mit den Koordinatenachsen ein Trapez. Dieses Trapez soll für jeden Kurvenpunkt P(u/v) den Inhalt 3*u*v haben (u, v ungleich 0). Geben Sie zuerst die allgemeine Lösung an und dann die Gleichung derjenigen Lösungskurve, die durch den Punkt (2/2) geht. Geben sie die Hauptcharakteristiken dieser Kurve an! mfg
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1289 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 16:52: |
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... -y'/y = 1/(4x) .... y = K/4teWurzel(x) Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2273 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 19:30: |
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Hi Ferdi, Die allgemeine Lösung besteht nach meiner Sicht der Dinge aus einer Schar Hyperbeln in der üblichen Hauptlage mit Mittelpunkt im Ursprung und mit feststehenden Asymptoten. Ob das stimmt, weiss ich nun nicht genau, da ich die Aufgabe auf einem Fetzen Papier im Schwimmbad gelöst habe. Dazu kommt, dass Friedrich mich noch mehr verunsichert. Ich wage aber doch, eine Zusatzaufgabe zu stellen. Die Fläche des Trapezes sei k * u v. Wie muss k gewählt werden, damit eine Schar gleichseitiger Hyperbeln entsteht? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 806 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 22:19: |
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Hi, megamath ich stimme dir zu! Die Schar der Hyperbeln habe ich auch als Ergebniss! Leider bin ich im Moment nicht in der Lage groß zu rechnen, denoch habe ich meine Rechung überflogen und sage: Für k > 1 entsteht so eine Schar von Hyperbeln! Bei Gelegenheit werde ich meine Lösung ins Board stellen! mfg |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2278 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 22:39: |
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Hi Friedrich, Bei der Lösung der Aufgabe gehst Du von einer falschen Dgl. aus. Diese lautet richtig so: y y´= 4 x ; schreibe dafür 2 y y´ = 8 x , und Du bist ganz nahe am Ziel. MfG H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2279 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 22:47: |
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Hi Friedrich, Vielen Dank für die Zustellung der Herleitung!* Wir werden den Fehler schon finden. Morgen,mit frischen Kräften. Mit freundlichen Grüssen Hans Rudolf Moser |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 1290 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 13:44: |
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o.k., ich riskier noch eine Falsche Lösung: es sind also x = eine Parallelseite, "obere", = u y = höhe = v y = -d/y', "untere" Parallelseit = x + d d = -y*y' somit Fläche = 3*y*x = y*(x + (x+d))/2 6*x = 2x - y*y' 4*x = -y*y' y' = -4x/y; ohne mich lange um die DGL zu bemühen nutze ich die Ableitung der Elipse [(b/a)*Wurzel(a²-x²)]' = -x*(b/a)/Wurzel()) also ist für Elipse y = (b/a)*Wurzel(a²-x²) y' = -x*(b/a)²/y, damit ist y' = -4x/y eine Elipse (um 90° aus der Hauptlage gedrehte )mit mit b/a = 2 also y = 2*Wurzel(a²-x²), für y(2) = 2 also 1 = Wurzel(a²-1); a = Wurzel(2)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben. [Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2281 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juli, 2003 - 20:19: |
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Hi allerseits, Es ist an der Zeit, dass die Vierecksaufgabe anderer Art, VA 15 von Ferdi, von Grund auf gelöst wird. Die Normale n im Kurvenpunkt P(u/v) hat die Gleichung y – v = - 1 / y´ * (x-u) ; sie schneidet die x-Achse im Punkt A; wir berechnen die x-Koordinate xA von A: xA = u + y´v. y´ ist die erste Ableitung der gesuchten Funktion y = y(x) im Punkt P. Unser Ziel besteht darin, eine Differentialgleichung für y = y(x) aufzustellen. Das gelingt sehr leicht, wenn wir die Bedingung für die Fläche F des Trapezes realisieren Einerseits erhalten wir für F aus dem Produkt Mittellinie mal Höhe. F = [u + ½ y ´v ] * v , andrerseits gilt nach Vorschrift F = 3 u v. Daraus entspringt die Dgl.: y´v = u Jetzt ist es höchste Zeit, statt u, v besser x und y zu schreiben. Die Dgl. lautet: y y´ = 4 x oder 2 y y ´= 8 x Man kann direkt integrieren und bekommt mit C als Integrationskonstante y ^ 2 = 4 x ^ 2 + C °°°°°°°°°°°°°°°°°°° Die Bedingung, dass die Lösungskurve durch den Punkt (2/2) gehen soll, liefert den Wert C = -12 , sodass die partikuläre Lösung lautet: 4 x^2 – y^2 = 12; das ist eine Hyperbel mit den Halbachsen a = sqrt(3) , b = 2* sqrt(3). Die Scheitel liegen auf der x- Achse . Gleichungen der Asymptoten y = (+-) 2 x. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2284 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 11:39: |
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Hi allerseits; Hi Friedrich Ergänzung zur Aufgabe VA 15 Es ist reizvoll, wie bereits angedeutet, die Aufgabe dahin zu verallgemeinern, dass die Fläche des Trapezes mit dem Produkt k u*v übereinstimmen soll, wobei k eine von eins verschiedene positive Konstante ist. Wir wählen mit voller Absicht k <1, etwa k = 1/3. Wir stellen mit einer gewissen Genugtuung fest, dass die Schar der Lösungskurven durch eine Ellipsenschar repräsentiert wird. Wir setzen ein mit der Herleitung der Dgl.: F = [u + ½ y ´v ] * v = 1/3 u * v Wir setzen noch x für u (ein x für ein u) und y für v. Die Dgl. lautet: y y´ = - 4/3 x oder 2 y y ´= - 8/3 x Man kann direkt integrieren und bekommt mit C als Integrationskonstante y ^ 2 = - 4/3 x ^ 2 + C °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Die Bedingung, dass die Lösungskurve durch den Punkt (3/1) gehen soll, liefert den Wert C = 13 (hihi) , sodass die partikuläre Lösung lautet: 4 x^2 + 3 y^2 = 39; das ist eine Ellipse mit den Halbachsen a = ½ sqrt(39) , b = sqrt(13).. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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