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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2272
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 12:13: | 
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Hi allerseits
Bevor Zahlreich in der Versenkung verschwindet,
möge die Vierecksaufgabe VA 14 erscheinen,
als Schwanengesang.
Sie lautet: in einem Viereck ABCD gilt:
Seite AB = a (vorgegeben), Seite DA = d = 2a
Diagonale AC = e = 2a
< CAB = 90°,< CAD = 36°
a) Berechne die Seite c = CD
b) Berechne die Diagonale f = BD
c) Berechne den Winkel psi (wie psycho) = < ADB.
d) Konstruier das Viereck für a = 6 (LE).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Georg (georg)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: georg
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 08-2000
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 17:27: |
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Müsste es nicht heißen
< BAC = 90° statt
< CAB = 90° ?
( rechter Schenkel zuerst ) |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2274
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 19:59: |
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Hi Georg,
Die Orientiereung des Winkels ist bei dieser Aufgabe unwesentlich.
Haupsache:Wir erkennen den Punkt A als Scheitel
des rechten Winkels.
Die Reihenfolge der Schnenkel spielt hier wirklich keine Rolle !*
MfG
M.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2275
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juli, 2003 - 20:06: |
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Hi Georg,
Ich korrigiere den TF:
Es muss Schenkel statt Schnecke heissen!*
MfG
H.R.Mosermegamath |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2287
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 20. Juli, 2003 - 21:35: |
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Hi allerseits
Lösung der Vierecksaufgabe VA 14
Zeichne das rechtwinklige Dreieck ABC,
rechter Winkel bei A, AB = a, AC = 2a
Berechne mit Pythagoras die Seite b = BC.
b = sqrt ( a^2 + 4 a^2) = a sqrt (5)
Bestimme den Punkt G auf der Seite BC so,
dass BG = a gilt.
Dann ist s = CA = a sqrt(5) – a = a (sqrt(5) - 1)
Der Kreis kappa mit Mittelpunkt C und Radius s
schneidet AC in H.
Da AC die Länge 2a hat, teilt H die Strecke AC
nach dem goldenen Schnitt mit CH als Major
und HA als Minor.
Nun fügen wir dem bereits gezeichneten Dreieck
ABC nahtlos ein gleichschenkliges Dreieck
(nach aussen) an, mit A als Spitze;
der eine Schenkel ist die Seite AC (Länge 2a),
CD wird zur Basis mit der Länge s, wie soeben ermittelt.
Wir behaupten:
Das Viereck ABCD ist das gesuchte.
Zum Beweis ist nachzuweisen, dass der Innenwinkel
delta dieses Vierecks bei D 72° beträgt.
Wir rechnen mit elementarer Trigonometrie:
cos(delta) = s/2 : 2a = s / 4a = ¼ (sqrt(5) - 1).
Aus andern Zusammenhängen weiß der geneigte Leser,
dass der gesuchte Winkel tatsächlich 72° beträgt.
Gleichzeitig mit dieser Analyse erhielten wir
Rezepte, wie die Winkel 72°, 36°, 18° mit Zirkel und Lineal
konstruiert werden können.
Die Teilaufgaben
a) CD = s = a (sqrt(5) - 1)
b) BD mit Cosinussatz aus den Seiten
AB = a, AD =2a und dem Zwischenwinkel 126°
c) Winkel (psi) mit Sinussatz
d) Erledigt
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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