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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2258
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 15:13: | 
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Hi allerseits,
Wieder eine KB-Aufgabe:
Aufgabe KB Nr. 19:
Gegeben ist das Dreieck ABC.
Auf der Seite BC liegt der Punkt D.
Die Punkte M1 und M2 sind die Umkreismittelpunkte
der Dreiecke ABD und ADC.
a)
Beweise, dass das Verhältnis der Umkreisradien r1 und r2
nicht von der Lage des Punktes D abhängt.
b)
Ermittle diejenige Lage des Punktes D, für welche
die Radien r1 und r2 minimal werden.
c)
Beweise, dass die Dreiecke A M1 M2 und ABC
ähnlich sind.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2260
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 19:38: |
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Hi allerseits,
Die Kreisaufgabe KB Nr.19 erhält eine Zusatzfrege d),nämlich:
M sei die Orthogonalprojektion der Ecke A
auf die Gerade M1M2
Welche Ortskurve beschreibt M, wenn D auf der
Seite BC läuft ?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 41
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 12:14: |
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Hallo Megamath, eine wirklich schöne Aufgabe!
M1 und M2 liegen auf der Mittelsenkrechten von AD, M ist der Mittelpunkt von AD.
<AM1M ist halber Zentriwinkel der Sehne AD im Umkreis von ABD und damit gleich dem Peripheriewinkel beta = <ABC über dieser Sehne.
<AM2M ist halber Zentriwinkel der Sehne AD im Umkreis von ADC und damit gleich dem Peripheriewinkel gamma = <BCA über dieser Sehne.
Also sind die Dreiecke AM1M2 und ABC ähnlich und das Verhältnis r1:r2 konstant, nämlich gleich AB:AC.
M1 liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. Daher wird r1=AM1 minimal, wenn M1 gleich dem Mittelpunkt von AB ist. Dann ist der Umkreis von ABD der Thaleskreis über AB und D somit der Fußpunkt der Höhe auf BC.
Zusatzfrage: Die Ortskurve von M ist (als Mittelpunkt von AD) die Verbindungsstrecke der Seitenmittelpunkte von AB und AC.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2265
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 14:33: |
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Hi allerseits,
ich stelle noch eine Lösungsvariante
für die Kreisaufgabe KB Nr.19 vor.
a)
Für beide Kreise berechne ich den
Umkreisradius als Quotient des Produkts
aller Seiten des Dreiecks und der vierfachen
Dreiecksfläche.
Bezeichnet man die Länge der gemeinsamen
Seite AD mit s, die Seite AB mit c, AC mit b
BD mit a1, DC mit a2, so gilt für die
Umkreisradien r1 und r2
im Dreieck ABD : r1 = s * a1 * c / (4 F1 )
im Dreieck ADC : r2 = s * a2 * b / (4 F2 )
Beachte : 2 F1 = a1 h ; 2 F2 = a2 h
h ist die gemeinsame Höhe durch A.
Für den Quotienten der Radien erhalten wir
daher die einfache Beziehung
r1 / r2 = c / b
°°°°°°°°°°°°°
Dieser Quotient ist von der Lage des Punktes D
unabhängig.
b)
Nochmals die Radien:
r1 = ½ (s/h) * c
r1 = ½ (s/h) * b
Die Radien werden dann minimal, wenn der
Quotient s / h minimal wird.
Dies ist der Fall, wenn D mit dem Fußpunkt F der
Höhe zusammenfällt.
Dann ist s / h = 1, ansonsten >1.
Dies sollte reichen
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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