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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 37
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 13:10: | 
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Einem gegebenen Kreis ist ein Trapez einzuschreiben. Die Trapezhöhe h und die Summe der parallen Seiten a+c = z ist gegeben.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2261
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 20:40: |
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Hi
Diese Aufgabe habe ich auch bei Hadamard
gefunden.
Jacques Hadamard,Leçons de Géométrie élémmentaire(Géometrie plane).
Originalzitat:
Inscrire dans une circonférence donnée un trapèze
dont on connaît la hauteur ,ainsi que la somme
ou la différence des bases.
Das spornt hoffentlich unsere Leser an,Lösungen zu präsentieren !*.
Uebrigens ist meine Aufgabe KB Nr.19 auch in der Géometrie éleméntaire zu finden!
Mir war sie aber auch aus andern Quellen bekannt.
Fazit:
Die Kreise schliessen sich
!
MFG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2262
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juli, 2003 - 22:23: |
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Hi hydra,
ich bin Dir dankbar,dass Du diese schöne Aufgabe
ins Netz gestellt hast;sie ist sehr lehrreich.
Ich habe einen angenehmen Abend
mit ihr verbracht !*
Hoffentlich geht es vielen Kollegen so.
MfG
H.R.Moser,megamath |
*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 40
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 12:11: |
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Hallo Megamath!
Ja, es ist wohl Aufgabe 351. (Problèmes divers), aber für Hadamard reichen meine Französischkenntnisse leider nicht aus. Ich habe die Aufgabe in einer noch älteren Quelle gefunden: den "Geometrischen Constructionsaufgaben" des Julius Petersen. Es ist gut möglich, dass Hadamard die französische Übersetzung dieses Buches, das zu seiner Schulzeit bereits ein Klassikers war (dänisches Original 1866, dt./engl./franz. 1879), gekannt hat.
Falls sich unsere Leser entgegen deiner Hoffnung doch nicht angespornt fühlen Lösungen zu präsentieren (was leider nicht auszuschließen ist), würde es mich sehr freuen wenn du die Früchte deiner abendlichen Überlegungen hier veröffentlichst.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2264
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 13:37: |
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Hi Hydra,
Deine Ausführungen zu Hadamards Leçons de Géométrie élémentaire waren für mich
sehr interessant und spannend.
Wer hätte so etwas für möglich gehalten,dass wir die gleichen Quellen kennen und benützen.
Die Aufgabe Nr 351 zu finden,gleicht der erfolgreichen Suche nach der berühmten Nadel
im Heuhaufen.
Das Vorwort in meiner Auflage von 1913 weist auf die Entstehungsgeschichte hin.
Wenn nötig,kann ich Dir einzelne Aufgaben aus
dem Original übersetzen.
Ich möchte noch auf einen Punkt hinweisen.
Wenn Mathematiker von einem Kaliber wie
Jacques Salomon Hadamard es nicht unter ihrer Würde finden,
sich mit Elementarer Geometrie abzugeben,
gilt das erst recht für uns Mitarbeiter in ZR.
Von Hadamard stammt ein Drei-Kreise-Satz in der Funktionentheorie;
in dasselbe Gebiet gehört sein Lückensatz.
Es gibt eine Hadamard-Matrix,ein Hadamard-Produkt
und so weiter und sofort.
Meine Lösungsidee werde ich heute nach Feierabend präsentieren.
Vorher gehe ich schwimmen,damit ich nicht im Fachgebiet herumschwimmen muss.
MfG
H.R.Moser,megamath
Suche nach der berühmten
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2266
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juli, 2003 - 17:23: |
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Hi *** (hydra(,
Hier meine Lösungsidee zur VA 8.
Am Anfang muss ich ein wenig rechnen, erst
am Schluss kommt es zu Zirkel-Lineal –Übungen.
Die Bezeichnungen werden teilweise geändert.
Es sind die Folgenden
Ecken des Trapezes A,B,C,D
r : Radius des Umkreises k; M: Mittelpunkt von k
a : halbe erste Parallelseite; also AB = 2a
b : halbe zweite Parallelseite; also CD = 2b
s : Summe der halben Seiten: s = a + b.
h : Höhe des Trapezes als Abstand der Parallelseiten
u : Abstand der Seite CD von M
v : Abstand der Seite AB von M
Gegeben sind r, s , h
Gesucht werden a, b , u , v.
Es stehen uns die folgenden vier Gleichungen
zur Verfügung:
(1) u^2 + b^2 = r^2
(2) a^2 + v^2 = r^2
(3) u – v = h
(4) a + b = s
Wir reduzieren das System auf die zwei Unbekannten
a und u, indem wir b und v eliminieren
Zugleich ersetzen wir aus Opportunität
u durch x und a durch y.
Nach einer kurzen Rechnung entstehen die beiden
Gleichungen zweiten Grades in x und y:
x^2 + (y-s)^2 = r^2
(x-h)^2 + y^2 = r^2
Diese Gleichungen stellen in einer (x,y)-Ebene
Kreise dar.
Durch Subtraktion erhalten wir die Gleichung der
Potenzgeraden p der beiden Kreise.
Diese Gleichung lautet:
2 h x – 2 s y + s^2 - h^2 = 0
Wir haben nun nichts anderes zu tun, als den Kreis
c , Gleichung x^2 + (y-s)^2 = r^2 ,
Mittelpunkt (0/s),Radius r mit der Geraden p zu schneiden.
Dies kann konstruktiv oder rechnerisch geschehen.
Auf jeden Fall arbeiten wir in einer (x,y) – Ebene,
wo wir uns zu Hause fühlen.
Wir finden in den Koordinaten x* , y* der Schnittpunkte
wesentlichen Daten für das gesuchte Trapez.
x* gibt uns den Abstand u der Seite CD von M;
y* gibt uns die Seite a des Trapezes.
Als Zahlenbeispiel geben wir vor:
r = 10, s = 14 , h = 2.
Die Kreisgleichung lautet x^2 + (y-14)^2 = 100
Die Gleichung der Potenzgerade p lautet:
x – 7 y = - 48.
Taugliche Lösung:
a = 8 , b = 6, u = 8 , v = 6.
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Auf die Durchführung einer Determination möchte
ich verzichten.
Die erforderlichen Rechnungen sind aber interessant.
Wer übernimmt diese Aufgabe?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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*** (hydra)
Mitglied
Benutzername: hydra
Nummer des Beitrags: 43
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juli, 2003 - 09:37: |
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Hallo Megamath,
vielen Dank für die Lösung und das Angebot der Hadamard Übersetzung. Ich werde bei Gelegenheit gern darauf zurück kommen!
Hier noch eine Lösungsvariante für VA 8:
Vorbemerkungen:
1) Sei F der Fußpunkt der Höhe FC=h. Dann ist AFC ein rechtwinkliges Dreieck und im gleichschenkligen Trapez gilt AF = (AB+CD)/2 = z/2.
2) Jedes Sehnentrapez ist gleichschenklig!
Konstruktion:
Lege ein rechtwinkliges Dreieck AFC mit Katheten AF=z/2 und FC=h so in den gegebenen Kreis, dass AC eine Sehne ist und F im Inneren des Kreises liegt. Die Verlängerung von AF schneidet den Kreis in B. Die Strecke BC von A aus auf dem Kreis abgeschlagen liefert D.
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2268
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juli, 2003 - 11:32: |
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Hi allerseits,
Es hat mich bis in den Schlaf verfolgt, dass für
diese schöne Aufgabe noch keine Determination
vorliegt!*
Ich möchte das jetzt nachholen, damit ich
salviert bin.
Damit die Aufgabe lösbar wird, muss die
Potenzgerade p den Kreis c schneiden oder
berühren.
Wir berechnen somit den Abstand D dieser Geraden
vom Mittelpunkt M des Kreises und fordern für die
Lösbarkeit:
D <= r.
Den Abstand D (Absolutbetrag) berechen wir mit
Hilfe der Hesseschen Formel.
Die Hessesche Normalform von p lautet:
[2 h x – 2 s y + s^2 - h^2] / W = 0
mit
W = 2 sqrt (h^2 + s^2)
Für den Betrag D des Abstandes des Punktes
M(0/s) von p erhalten wir sofort:
D = (s^2 + h^2) / w = ½ sqrt (s^2+h^2)
Daraus erhalten wir die Bedingung
½ sqrt(s^2 + h ^2) < = r
oder
s^2 + h^2 < = 4 r ^2
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MfG
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 2269
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juli, 2003 - 12:23: |
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Hi hydra,
Vielen Dank für Deine Lösungsvariante.
Das ist echte konstruktive Geometrie!*
Zur Ergänzung gebe ich den Originaltext der
Aufgabe Nr.351 von Hadamard.
Da wir in der Schweiz in den Primarschulen
so genanntes Frühfranzösisch pflegen,
ist uns allen diese Sprache vertraut.
Man braucht bloß auf die Enkel zu hören,
wie sie mit dieser Sprache franchement
umgehen.
Den Originaltext, er ist kurz und bündig,
habe ich ja weiter oben zitiert.
Man beachte die Variante mit der
Differenz der Parallelseiten !
MfG
H.R.Moser,megamath
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